Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=3x^2-1 и y=3x+5

Answer 1

Ответ:

Сначала надо нарисовать ускомую - это будет область, снизу ограниченная дугой параболы y=x^2-3*x, а сверху - отрезком прямой y=3*x-5.

Точки пересечения находим, приравняв левые части

x^2-3*x=3*x-5

Это квадратное уравнение, корни - это х=1 и х=5.

Площадь фигуры будет равна двойному интегралу: по х от 1 (нижний предел) до 5(верхний предел) .

и по у от x^2-3*x(нижний предел) до 3*x-5(верхний предел) .

Сначала интегрируем по у, получим 3*x-5-(x^2-3*x), т. е. -x^2+6*x-5.

Потом интегрируем по х,

получим неопределенный интеграл -x^3/3+3*x^2-5х, в который подставим верхний предел х=5 и нижний предел х=1, получим:

-5^3/3+3*5^2-5*5 - (-1^3/3+3*1^2-5*1)=32/3, то есть 10 2/3.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x^2 - 1 и y = 3x + 5, нам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл от разности этих функций в пределах этих точек. Точки пересечения функций можно найти, приравняв их:

3x^2 - 1 = 3x + 5

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

3x^2 - 3x - 1 - 5 = 0

3x^2 - 3x - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого мы можем поделить его на 3:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем вычислить интеграл площади между этими двумя точками. Площадь будет равна:

Площадь = ∫[a, b] (3x + 5 - (3x^2 - 1)) dx

где a = -1 и b = 2.

Подставим значения и вычислим интеграл:

Площадь = ∫[-1, 2] (3x + 5 - 3x^2 + 1) dx

Площадь = ∫[-1, 2] (-3x^2 + 3x + 6) dx

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = [-x^3/1 + (3/2)x^2 + 6x] от -1 до 2

Площадь = [-(2^3)/1 + (3/2)(2^2) + 6(2)] - [(-(-1)^3)/1 + (3/2)(-1^2) + 6(-1)]

Площадь = [-8 + 6 + 12] - [1 - (3/2) - 6]

Площадь = 10 - (-8.5)

Площадь = 10 + 8.5

Площадь = 18.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x^2 - 1 и y = 3x + 5, равна 18.5 квадратным единицам.