Question

Помогите пожалуйста !!! Решите уравнение 3cos^2x+7sin^2x+8cos(x-3pi/2)=0. Укажите его корни лежащие в промежутке [-3pi/2;3pi/2].Ответ: x=(-1)^n pi/6+pin, n пренадлежит Z; x1= -7pi/6; x2=pi/6; x3= 5pi/6​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$1)\\3*cos^2x+7*sin^2x+8*cos(x-\frac{3\pi }{2})=0\\ 3*(1-sin^2x)+7*sin^2x+8*cos(\frac{3\pi }{2}-x)=0\\3-3*sin^2x+7*sin^2x+(-8*sinx)=0\\ 3+4*sin^2x-8*sinx=0\\4*sin^2x-8*sinx+3=0$

Пусть sinx=t     |t|≤1   ⇒

$4t^2-8t+3=0\\D=16;\sqrt{D}=4\\ t_1=sinx=1,5\notin\\t_2=sinx=0,5\\x=(-1)^n\frac{\pi }{6} +\pi n,n\in \mathbb Z.\\2)\\-\frac{3\pi }{2}$

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Уравнение: $3\cos^2(x) + 7\sin^2(x) + 8\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = 0$

Сначала заменим $\cos(x - \frac{3\pi}{2})$ с использованием тригонометрической формулы:

$3\cos^2(x) + 7\sin^2(x) + 8\cos(x)\sin(\frac{3\pi}{2}) - 8\sin(x)\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, у нас остается:

$3\cos^2(x) + 7\sin^2(x) - 8\sin(x) = 0$

Теперь преобразуем уравнение, используя тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$3(1 - \sin^2(x)) + 7\sin^2(x) - 8\sin(x) = 0$

Упростим:

$3 - 3\sin^2(x) + 7\sin^2(x) - 8\sin(x) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$4\sin^2(x) - 8\sin(x) + 3 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Раскроем скобки:

$(2\sin(x) - 1)(2\sin(x) - 3) = 0$

Это уравнение будет равно нулю, если $2\sin(x) - 1 = 0$ или $2\sin(x) - 3 = 0$.

Решим оба уравнения:

1. $2\sin(x) - 1 = 0$

   $\sin(x) = \frac{1}{2}$

   В промежутке [-3π/2; 3π/2] угол $x_1 = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет этому условию.

2. $2\sin(x) - 3 = 0$

   $\sin(x) = \frac{3}{2}$

   Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, у нас есть одно решение: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Однако, чтобы удовлетворить ответу, нужно учесть, что $(-1)^n$ может быть как $1$, так и $-1$, что добавляет дополнительные корни.

Таким образом, общее решение будет:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}$

Подставим несколько значений $n$ и проверим, соответствует ли каждый из них заданному интервалу [-3π/2; 3π/2]:

1. $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (удовлетворяет условию).
2. $n = 1$: $x = -\frac{5\pi}{6}$ (удовлетворяет условию).
3. $n = 2$: $x = \frac{11\pi}{6}$ (не удовлетворяет условию).

Таким образом, корни уравнения, лежащие в промежутке [-3π/2; 3π/2], соответствуют $n = 0$ и $n = 1$:

$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = -\frac{5\pi}{6}$