Question

Помогите пожалуйста !!! Решите уравнение 3cos^2x+7sin^2x+8cos(x-3pi/2)=0. Укажите его корни лежащие в промежутке [-3pi/2;3pi/2].Ответ: x=(-1)^n pi/6+pin, n пренадлежит Z; x1= -7pi/6; x2=pi/6; x3= 5pi/6​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$1)\\3*cos^2x+7*sin^2x+8*cos(x-\frac{3\pi }{2})=0\\ 3*(1-sin^2x)+7*sin^2x+8*cos(\frac{3\pi }{2}-x)=0\\3-3*sin^2x+7*sin^2x+(-8*sinx)=0\\ 3+4*sin^2x-8*sinx=0\\4*sin^2x-8*sinx+3=0$

Пусть sinx=t     |t|≤1   ⇒

$4t^2-8t+3=0\\D=16;\sqrt{D}=4\\ t_1=sinx=1,5\notin\\t_2=sinx=0,5\\x=(-1)^n\frac{\pi }{6} +\pi n,n\in \mathbb Z.\\2)\\-\frac{3\pi }{2}$

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 3cos^2x + 7sin^2x + 8cos(x - 3π/2) = 0

Сначала заметим, что: cos(x - 3π/2) = cos(x)cos(3π/2) + sin(x)sin(3π/2) cos(3π/2) = 0 sin(3π/2) = -1

Теперь у нас есть: 3cos^2x + 7sin^2x + 8(-sin(x)) = 0

Используем тригонометрические тождества для замены sin^2x и cos^2x: sin^2x = 1 - cos^2x

Теперь у нас есть: 3cos^2x + 7(1 - cos^2x) - 8sin(x) = 0

Раскроем скобки: 3cos^2x + 7 - 7cos^2x - 8sin(x) = 0

Теперь объединим подобные члены: -4cos^2x - 8sin(x) + 7 = 0

Перепишем уравнение: 4cos^2x + 8sin(x) - 7 = 0

Далее, заметим, что 4 = 2^2, поэтому мы можем выразить cos^2x через sin^2x, используя тождество sin^2x + cos^2x = 1: 4cos^2x = 4(1 - sin^2x) = 4 - 4sin^2x

Теперь у нас есть: 4 - 4sin^2x + 8sin(x) - 7 = 0

Упростим это уравнение: -4sin^2x + 8sin(x) - 3 = 0

Теперь давайте решим это уравнение. Для начала, поделим все его члены на -1, чтобы получить более удобную форму: 4sin^2x - 8sin(x) + 3 = 0

Далее, решим это квадратное уравнение для sin(x). Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 и применить к нему квадратное уравнение:

sin(x) = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

В нашем случае: a = 4, b = -8, c = 3

sin(x) = [8 ± √((-8)^2 - 4 * 4 * 3)] / (2 * 4)

sin(x) = [8 ± √(64 - 48)] / 8

sin(x) = [8 ± √16] / 8

sin(x) = [8 ± 4] / 8

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(x) = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 3 / 2. Однако sin(x) не может быть больше 1, поэтому этот случай не подходит.

2. sin(x) = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1 / 2.

Теперь найдем угол, соответствующий sin(x) = 1/2. Этот угол - π/6.

Теперь у нас есть sin(x) = 1/2 и зная, что sin(π/6) = 1/2, мы можем записать: x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь мы должны убедиться, что корни находятся в интервале [-3π/2; 3π/2]. Подставим значения n и проверим:

1. n = 0: x = π/6, что находится в интервале [-3π/2; 3π/2].
2. n = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6, что тоже находится в интервале [-3π/2; 3π/2].
3. n = -1: x = π/6 - 2π = -11π/6, что также находится в интервале [-3π/2; 3π/2].

Таким образом, корни в указанном интервале - x = π/6, 13π/6 и -11π/6.