Question

Помогите пожалуйста !!! Решите уравнение 3cos^2x+7sin^2x+8cos(x-3pi/2)=0. Укажите его корни лежащие в промежутке [-3pi/2;3pi/2].Ответ: x=(-1)^n pi/6+pin, n пренадлежит Z; x1= -7pi/6; x2=pi/6; x3= 5pi/6​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$1)\\3*cos^2x+7*sin^2x+8*cos(x-\frac{3\pi }{2})=0\\ 3*(1-sin^2x)+7*sin^2x+8*cos(\frac{3\pi }{2}-x)=0\\3-3*sin^2x+7*sin^2x+(-8*sinx)=0\\ 3+4*sin^2x-8*sinx=0\\4*sin^2x-8*sinx+3=0$

Пусть sinx=t     |t|≤1   ⇒

$4t^2-8t+3=0\\D=16;\sqrt{D}=4\\ t_1=sinx=1,5\notin\\t_2=sinx=0,5\\x=(-1)^n\frac{\pi }{6} +\pi n,n\in \mathbb Z.\\2)\\-\frac{3\pi }{2}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение поэтапно и найдем его корни.

Уравнение: $3\cos^2(x) + 7\sin^2(x) + 8\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = 0$

Сначала мы можем использовать тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ и заменить $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$: $3\cos^2(x) + 7(1 - \cos^2(x)) + 8\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = 0$

Теперь у нас есть уравнение только с косинусами: $3\cos^2(x) + 7 - 7\cos^2(x) + 8\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = 0$

Объединим подобные члены: $-4\cos^2(x) + 8\cos(x - \frac{3\pi}{2}) + 7 = 0$

Теперь давайте заменим $\cos(x - \frac{3\pi}{2})$ на $\sin(x)$, так как $\sin(x) = \cos(x - \frac{3\pi}{2})$: $-4\cos^2(x) + 8\sin(x) + 7 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Давайте решим его:

$-4\cos^2(x) + 8\sin(x) + 7 = 0$

Сначала делим все слагаемые на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед $\cos^2(x)$:

$4\cos^2(x) - 8\sin(x) - 7 = 0$

Теперь мы можем применить квадратное уравнение. Решение будет выглядеть следующим образом:

$\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где $a = 4$, $b = -8$, и $c = -7$. Подставляем эти значения:

$\cos(x) = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7)}}{2 \cdot 4}$

$\cos(x) = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 112}}{8}$

$\cos(x) = \frac{8 \pm \sqrt{176}}{8}$

$\cos(x) = \frac{8 \pm 4\sqrt{11}}{8}$

Теперь делим числитель и знаменатель на 4:

$\cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{11}}{2}$

Теперь у нас есть два возможных значения для $\cos(x)$:

1. $\cos(x) = \frac{2 + \sqrt{11}}{2}$
2. $\cos(x) = \frac{2 - \sqrt{11}}{2}$

Теперь мы можем найти углы, соответствующие этим значениям косинуса. Воспользуемся обратной функцией косинуса:

1. $\cos(x) = \frac{2 + \sqrt{11}}{2}$ $x_1 = \arccos\left(\frac{2 + \sqrt{11}}{2})$

2. $\cos(x) = \frac{2 - \sqrt{11}}{2}$ $x_2 = \arccos\left(\frac{2 - \sqrt{11}}{2})$

Теперь найдем значения $x$ в интервале $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

1. Для $x_1$:

   $x_1 = \arccos\left(\frac{2 + \sqrt{11}}{2})$

   Поскольку $\frac{2 + \sqrt{11}}{2} > 1$, а область значений арккосинуса - $[0, \pi]$, $x_1$ не имеет решений в заданном интервале.

2. Для $x_2$:

   $x_2 = \arccos\left(\frac{2 - \sqrt{11}}{2})$

   Так как $\frac{2 - \sqrt{11}}{2}$ лежит в интервале $[0, 1]$, мы можем найти решение для $x_2$.

   $x_2 = \arccos\left(\frac{2 - \sqrt{11}}{2})$

   $x_2 \approx 2.618$ радиан

Теперь, чтобы найти остальные корни, мы можем использовать периодичность функции косинуса. Косинус имеет период $2\pi$, поэтому мы можем добавлять $2\pi n$ к решению $x_2$, где $n$ - целое число.

Таким образом, остальные корни будут:

3. $x_3 = x_2 + 2\pi = 2.618 + 2\pi \approx 8.9$ радиан

4. $x_4 = x_2 + 4\pi = 2.618 + 4\pi \approx 15.2$ радиан

Теперь у нас есть все корни уравнения в интервале $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$:

1. $x_2 \approx 2.618$ радиан
2. $x_3 \approx 8.9$ радиан
3. $x_4 \approx 15.2$ радиан

Обратите внимание, что $x_1$ не имеет решений в заданном интервале, как было указано в начале.