Question

Помогите, пожалуйста! 19. Доведите неравенства: 1) b²-4b+7>0;2) -2b < b²+2.25. Для каждого отрицательного значения p доведите,что :1) p³+10p²+25p≤0;2) 1 - p³ > p - p².​

Answer 1

Объяснение:

$19.\\1)b^2-4b+7>0 \Rightarrow (b-2)^2+3>0$

Это выполнено при любых b (так как $(b-2)^2 \geq 0$, а 3 > 0)

$>0$

Это тоже выполнено при любых b (так как $(b+1)^2\geq0$, а 1 > 0)

$25.\\1)\\p^3+10p^2+25p\leq0\\p(p^2+10p+25)\leq0\\p(p+5)^2\leq 0\\p\leq0$

Переход на последнюю строчку возможен, так как квадрат числа неотрицателен

$2)\\1-p^3>p-p^2\\p^3-p^2+p-1$

Переход на предпоследнюю строчку возможен, так как $p^2+1\geq0$.

А p<1 выполнено, так как p<0

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из данных неравенств по отдельности и решим их.

1. Неравенство b² - 4b + 7 > 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения b² - 4b + 7 = 0:

D = (-4)² - 4 * 1 * 7 = 16 - 28 = -12

Дискриминант D отрицательный, что означает, что уравнение b² - 4b + 7 = 0 не имеет действительных корней. Это означает, что квадратное уравнение b² - 4b + 7 = 0 не пересекает ось x. Так как у коэффициента при b² положительное значение (1), это означает, что парабола открывается вверх, и функция b² - 4b + 7 положительна для всех значений b.

Следовательно, неравенство b² - 4b + 7 > 0 выполняется для всех значений b.

2. Неравенство -2b < b² + 2.25: Переносим все слагаемые на одну сторону:

-2b - b² - 2.25 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Для начала найдем его корни:

b² + 2b + 2.25 = 0

Это квадратное уравнение имеет один корень:

D = 2² - 4 * 1 * 2.25 = 4 - 9 = -5

D отрицательный, и уравнение имеет только один корень:

b = (-2) / (2 * 1) = -1

Так как D отрицательный и корень единственный, это означает, что квадратное неравенство b² + 2b + 2.25 < 0 выполняется для всех значений b, кроме b = -1.

3. Для неравенства p³ + 10p² + 25p ≤ 0, можно заметить, что данное выражение можно представить в виде квадратного трехчлена:

p³ + 10p² + 25p = (p + 5)³

Таким образом, данное неравенство будет верным для всех отрицательных значений p, так как (p + 5)³ будет неотрицательным для всех p.

4. Неравенство 1 - p³ > p - p²: Переносим все слагаемые на одну сторону:

1 - p³ - p + p² > 0

Попробуем упростить это неравенство:

p² - p³ - p + 1 > 0

Теперь можно заметить, что это выражение можно представить как:

(p - 1)(p² + 1) > 0

Теперь рассмотрим два множителя:

1. (p - 1) > 0: Это выполняется, если p > 1.
2. (p² + 1) > 0: Это выполняется для всех значений p, так как p² + 1 всегда положительно.

Таким образом, неравенство (p - 1)(p² + 1) > 0 выполняется для всех значений p, кроме p = 1.

Итак, мы доказали данные неравенства:

1. b² - 4b + 7 > 0 выполняется для всех значений b.
2. -2b < b² + 2.25 выполняется для всех значений b, кроме b = -1.
3. p³ + 10p² + 25p ≤ 0 выполняется для всех отрицательных значений p.
4. 1 - p³ > p - p² выполняется для всех значений p, кроме p = 1.