Question

Найдите минимальное значение функции корень из x^2+14x+113 Я хочу проверить, у меня получилось - 64 я делала через вершину параболы

Answer 1

Ответ:

y = 8

Объяснение:

Найти минимальное значение функции $\displaystyle y = \sqrt{x^{2} +14x+133}$

Под корнем стоит квадратичная функция. Преобразуем подкоренное выражение:

$\displaystyle f(x) = x^{2} +14x+133=x^{2} +14x +49 + 64 = (x+7)^{2} +64$

График квадратичной функции $\displaystyle f(x) = (x+7)^{2} +64$ получается из графика  $\displaystyle f(x) = x^{2}$ смещением параболы вдоль оси OX на -7 единиц и вдоль оси OY на +64 единицы. Т.е. вершина параболы $\displaystyle f(x) = x^{2} +14x+133 = (x+7)^{2} +64$ находится в точке (-7; 64) и ее минимальное значение равно 64 (ветви параболы направлены вверх).

Однако наша квадратичная функция является подкоренным выражением.

Тогда смещение функции $\displaystyle y = \sqrt{x^{2} +14x+133} = \sqrt{(x+7)^{2} +64}$ произойдет на -7 единиц вдоль оси OX (так как $\displaystyle \sqrt{(x+7)^{2}}=x+7$) и на 8 единиц вдоль оси OY (так как  $\displaystyle y = \sqrt{64}=8$).

Значит минимальное значение функции $\displaystyle y = \sqrt{x^{2} +14x+133}$ равно 8.

График прилагается.

Answer 2

Давайте найдем минимальное значение функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 14x + 113}$.

Для этого, действительно, можно воспользоваться вершиной параболы. Функция $\sqrt{x^2 + 14x + 113}$ — это корень из квадратного трехчлена. Давайте сначала преобразуем этот трехчлен:

$f(x) = \sqrt{x^2 + 14x + 113} = \sqrt{(x + 7)^2 + 2^2}.$

Теперь у нас есть трехчлен в форме $(x - h)^2 + k$, где $h = -7$ и $k = 2$. Минимальное значение этой функции будет равно $k$ и достигается в точке $x = h$. Таким образом, минимальное значение функции $f(x)$ равно $2$ и достигается при $x = -7$.

Итак, минимальное значение функции $f(x)$ равно $2$ и достигается при $x = -7$, а не -64, как вы утверждаете.