Question

На Украинском Доведіть,що за будь якого натурального числа n значення виразу N*(n+5)-(n-3)(n+2)кратне 6 На руском: Докажите, что при любом которого натурального числа n значение выражения N * (n + 5) - (n-3) (n + 2) кратное 6

Answer 1

Ответ:

доказано

Объяснение:

n(n+5)-(n-3)(n+2)=

=n*n +5*n -n*n -(-3)*n -n*2 -(-3)*2=

=n² +5n - n² +3n - 2n + 6=

=(n²-n²) + (5n+3n-2n) + 6 =

= 0 + 6 n + 6=

=6*(n+1)

6 (n+1) / 6 = n+1 (остаток 0 ) =⟩

=⟩ 6(n+1) = n(n+5)-(n-3)(n+2) кратно 6 при любом значении n (что и требовалось доказать)

Доказано

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим выражение N * (n + 5) - (n - 3) (n + 2) и попробуем упростить его:

$N \cdot (n + 5) - (n - 3) \cdot (n + 2)$

Раскроем скобки:

$N \cdot n + N \cdot 5 - n^2 + 3n - 2n - 6$

Теперь сгруппируем подобные члены:

$(N + 1) \cdot n + (5 - 6)$

Упростим еще немного:

$(N + 1) \cdot n - 1$

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 6. Мы хотим доказать, что оно кратно 6. Посмотрим на два случая:

1. Если $n$ делится на 6 ($n = 6k$ для некоторого целого числа $k$):

$(N + 1) \cdot (6k) - 1 = 6 \cdot (N + 1) \cdot k - 1$

Это выражение кратно 6.

2. Если $n$ не делится на 6 ($n = 6k + m$ для некоторых целых $k$ и $m$, где $m$ - остаток при делении $n$ на 6):

$(N + 1) \cdot (6k + m) - 1 = 6 \cdot (N + 1) \cdot k + (N + 1) \cdot m - 1$

Также кратно 6, так как первое слагаемое кратно 6.

Таким образом, в обоих случаях выражение кратно 6, что завершает наше доказательство.