Question

вычислить производную при значении аргумента xf(x)=(3x-1)^4 при x=1, при x=96

Answer 1

$f^{'}(x)=4(3x-1)\cdot(3x-1)^{'}=4(3x-1)\cdot3=12(3x-1)$

 

$f^{'}(1)=12(3\cdot1-1)=24\\f^{'}(96)=12(3\cdot96-1)=3444$

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции f(x) = (3x - 1)^4 при заданных значениях аргумента x = 1 и x = 96, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования композиции функций.

Правило дифференцирования степенной функции

Если у нас есть функция g(x) = x^n, где n - любое вещественное число, то производная этой функции будет равна произведению n и x, возведенному в степень (n - 1). То есть, производная функции g(x) равна g'(x) = n * x^(n-1).

Правило дифференцирования композиции функций

Если у нас есть функция h(x) = f(g(x)), где f(x) и g(x) - две функции, то производная функции h(x) будет равна произведению производной функции f(x) по переменной x и производной функции g(x) по переменной x. То есть, h'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

Вычисление производной при x = 1

Для начала, вычислим производную функции f(x) = (3x - 1)^4 при x = 1. Применим правило дифференцирования композиции функций.

Пусть g(x) = 3x - 1, тогда f(x) = g(x)^4.

Вычислим производную функции g(x) = 3x - 1: g'(x) = 3.

Теперь, вычислим производную функции f(x) = g(x)^4: f'(x) = 4 * g(x)^(4 - 1) * g'(x) = 4 * (3x - 1)^(4 - 1) * 3 = 12 * (3x - 1)^3.

Подставим значение x = 1 в полученное выражение: f'(1) = 12 * (3 * 1 - 1)^3 = 12 * 2^3 = 12 * 8 = 96.

Вычисление производной при x = 96

Теперь, вычислим производную функции f(x) = (3x - 1)^4 при x = 96, используя те же правила.

Пусть g(x) = 3x - 1, тогда f(x) = g(x)^4.

Вычислим производную функции g(x) = 3x - 1: g'(x) = 3.

Теперь, вычислим производную функции f(x) = g(x)^4: f'(x) = 4 * g(x)^(4 - 1) * g'(x) = 4 * (3x - 1)^(4 - 1) * 3 = 12 * (3x - 1)^3.

Подставим значение x = 96 в полученное выражение: f'(96) = 12 * (3 * 96 - 1)^3 = 12 * 287^3.

Для точного значения f'(96) мы должны вычислить 287^3. Вычислим:

287^3 = 287 * 287 * 287 = 23,300,783.

Теперь, подставим это значение в выражение f'(96): f'(96) = 12 * 23,300,783 = 279,609,396.

Таким образом, производная функции f(x) = (3x - 1)^4 при x = 1 равна 96, а при x = 96 равна 279,609,396.