Question

(х²-8х+7)(х²-8х+15)=105 решите методом введения новой переменной​

Answer 1

Ответ:

$4+i\sqrt{6}, \quad 4-i\sqrt{6}, \quad 0, \quad 8;$

Объяснение:

$(x^{2}-8x+7)(x^{2}-8x+15)=105;$

$t=x^{2}-8x+7 \Rightarrow x^{2}-8x+15=t+8;$

$t(t+8)=105;$

$t^{2}+8t-105=0;$

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-8} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-105}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=-15} \atop {t_{2}=7}} \right. ;$

$x^{2}-8x+7=-15 \quad \vee \quad x^{2}-8x+7=7;$

$x^{2}-8x+22=0 \quad \vee \quad x^{2}-8x=0;$

$x^{2}-8x+22=0 \quad \vee \quad x(x-8)=0;$

$x^{2}-8x+22=0 \quad \vee \quad x=0 \quad \vee \quad x-8=0;$

$x^{2}-8x+22=0 \quad \vee \quad x=0 \quad \vee \quad x=8;$

$x^{2}-8x+22=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-8)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 22=64-88=-24;$

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$

$x_{1}=\frac{-(-8)+\sqrt{-24}}{2 \cdot 1}=\frac{8+2i\sqrt{6}}{2}=\frac{8}{2}+\frac{2i\sqrt{6}}{2}=4+i\sqrt{6};$

$x_{2}=\frac{-(-8)-\sqrt{-24}}{2 \cdot 1}=\frac{8-2i\sqrt{6}}{2}=\frac{8}{2}-\frac{2i\sqrt{6}}{2}=4-i\sqrt{6};$

Answer 2

Для решения данного уравнения методом введения новой переменной, мы начнем с замены новой переменной. Пусть $y = x^2 - 8x$. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

$(y + 7)(y + 15) = 105$

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 22y + 105 = 0$

Далее мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 22$ и $c = 105$.

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 484 - 420 = 64$

Теперь мы можем найти два значения $y$ с использованием квадратного уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-22 + 8}{2} = -7$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-22 - 8}{2} = -15$

Теперь у нас есть два значения $y$: $y_1 = -7$ и $y_2 = -15$. Теперь мы можем найти соответствующие значения $x$ с помощью исходной замены $y = x^2 - 8x$:

Для $y_1 = -7$: $x^2 - 8x = -7$ $x^2 - 8x + 7 = 0$

Для $y_2 = -15$: $x^2 - 8x = -15$ $x^2 - 8x + 15 = 0$

Оба уравнения квадратные, и их можно решить стандартным способом, например, используя квадратное уравнение или метод полного квадрата. Решения для $x$ будут значениями, соответствующими $y_1$ и $y_2$.