Question

Определите, сумма цифр скольких восьмизначных чисел равна: а) 2 б) 3 в) 4

Answer 1

Ответ:

а) 8

б) 36

в) 120

Объяснение:

Число не может начинаться с нуля.

а)

Сумма цифр числа равна двум. Тогда число может содержать или две единицы или одну двойку.

Если число содержит две единицы, то одна - на первом месте, а вторую можно расположить на 7-ми оставшихся местах 7-ю способами. Всего 7 вариантов.

Если число содержит одну двойку, то она может быть только на первом месте - 1 вариант.

Итого, 7 + 1 = 8 чисел.

б)

Сумма цифр числа равна трем. Тогда возможны случаи:

1) 1 на первом месте и 1, 1 размещаются на оставшихся семи:

$C^2_7=\dfrac{7!}{2!(7-2)!}=\dfrac{7!}{2\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6}{2}=21$  способов.

2) 1 на первом месте и 2 размещается на оставшихся семи - 7 способов.

3) 2 на первом месте и 1 размещается на оставшихся семи - 7 способов.

4) 3 на первом месте - 1 способ.

Итого, 21 + 7 + 7 + 1 = 36 способов.

в)

Сумма цифр числа равна четырем. Тогда возможны случаи:

1) 1 на первом месте и 1, 1, 1 размещаются на оставшихся семи:

$C^3_7=\dfrac{7!}{3!(7-3)!}=\dfrac{7!}{6\cdot 4!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35$

2) 1 на первом месте и 1, 2 размещаются на оставшихся семи.

Единица может быть размещена на 7-ми местах 7-ю способами, а 2 на оставшихся 6-ти - 6-ю способами, всего:

7 · 6 = 42 способа.

3) 2 на первом месте и 1, 1 размещаются на оставшихся семи.

21 способ (см. б) случай 1)

4) 2 на первом месте и 2 размещается на оставшихся семи.

7 способов.

5) 1 на первом месте и 3 размещается на оставшихся семи.

7 способов.

6) 3 на первом месте и 1 размещается на оставшихся семи.

7 способов.

7) 4 на первом месте.

1 способ.

Итого, 35 + 42 + 21 + 7 + 7 + 7 + 1 = 120 чисел.

Answer 2

Для определения, сколько восьмизначных чисел имеют сумму цифр, равную определенному значению, можно воспользоваться формулой для подсчета сочетаний с повторениями.

Поскольку мы ищем восьмизначные числа, каждое из которых может быть любой цифрой от 0 до 9, мы можем воспользоваться формулой сочетаний с повторениями, которая определяет количество способов выбрать r элементов из n возможных элементов с учетом порядка:

$C(n+r-1, r) = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

где $n$ - количество различных цифр (от 0 до 9), $r$ - количество цифр в числе (в данном случае 8).

Теперь для каждого варианта суммы цифр (2, 3, и 4) мы можем найти количество сочетаний, удовлетворяющих условию:

a) Сумма цифр равна 2: $C(9+2-1, 2) = C(10, 2) = \frac{10!}{2!8!} = 45$

б) Сумма цифр равна 3: $C(9+3-1, 3) = C(11, 3) = \frac{11!}{3!8!} = 165$

в) Сумма цифр равна 4: $C(9+4-1, 4) = C(12, 4) = \frac{12!}{4!8!} = 495$

Таким образом, существует 45 восьмизначных чисел, сумма цифр в которых равна 2, 165 восьмизначных чисел с суммой цифр 3 и 495 восьмизначных чисел с суммой цифр 4.