Question

Плииииз!!!!Пожалуйста!!!! Очень надо!!!Докажите, что значение выражения: Под корнем 2√5-2*под корнем2+2√5 есть число натуральное.

Answer 1

Ответ:

$4$

Объяснение:

$\sqrt{2\sqrt{5}-2} \cdot \sqrt{2+2\sqrt{5}}=\sqrt{(2\sqrt{5}-2) \cdot (2\sqrt{5}+2)}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=\sqrt{2^{2} \cdot (\sqrt{5})^{2}-4}=$$=\sqrt{4 \cdot 5-4}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4;$

4 — натуральное число, так как оно используется при счёте.

Answer 2

Давайте разберем данное выражение и докажем, что оно представляет собой натуральное число.

Имеем выражение: $\sqrt{2\sqrt{5}-2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}$

Шаг 1: Упрощение выражения под корнем.

$2\sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

Шаг 2: Факторизация числа под корнем.

$4\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)$

Теперь выражение принимает вид:

$\sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)}$

Шаг 3: Упрощение под корнем.

$\sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} = \sqrt{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} - 2\sqrt{2}}$ $= \sqrt{2\sqrt{10} - 2\sqrt{2}}$

Шаг 4: Докажем, что полученное значение под корнем является натуральным числом.

Пусть $a = 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2}$. Мы хотим показать, что $a$ является натуральным числом.

Умножим $a$ на его сопряженное:

$a \cdot a = (2\sqrt{10} - 2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{10} + 2\sqrt{2})$ $= (2\sqrt{10})^2 - (2\sqrt{2})^2$ $= 40 - 8 = 32$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

$\sqrt{a \cdot a} = \sqrt{32}$