Question

4) Периметр прямокутного трикутника дорівнює 30 см, а дов- жина його гіпотенузи дорівнює 13 см.б) Знайдіть площу трикутника.і знайдіть їх.систему рівняньА) Складіть систему рівнянь для визначення довжин кате-тів трикутника та знайдіть їх.​

Answer 1

Відповідь: площа трикутника 30 см квадратних.

Answer 2

Нехай a і b - довжини катетів прямокутного трикутника, а c - довжина гіпотенузи.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника: $a^2 + b^2 = c^2$

Також задано, що периметр трикутника дорівнює 30 см: $a + b + c = 30$

Довжина гіпотенузи c дорівнює 13 см: $c = 13$

Тепер ми маємо систему рівнянь:

$a^2 + b^2 = 13^2$ $a + b + 13 = 30$

Можна розв'язати цю систему рівнянь для a і b. Спростимо друге рівняння:

$a + b = 17$

З цього можна виразити одну з невідомих через іншу, наприклад: $a = 17 - b$

Підставимо цей вираз у перше рівняння:

$(17 - b)^2 + b^2 = 169$

Розкриваємо дужки та спростимо рівняння:

$289 - 34b + b^2 + b^2 = 169$ $2b^2 - 34b + 120 = 0$

Розділимо обидві сторони на 2 для спрощення:

$b^2 - 17b + 60 = 0$

Тепер маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою факторизації або квадратного кореня. У цьому випадку можна розділити середній член на два так:

$b^2 - 5b - 12b + 60 = 0$

Факторизуємо:

$b(b - 5) - 12(b - 5) = 0$ $(b - 5)(b - 12) = 0$

З цього маємо два можливих значення для b: b = 5 або b = 12.

Якщо b = 5, то a = 17 - 5 = 12.

Якщо b = 12, то a = 17 - 12 = 5.

Отже, можливі варіанти довжин катетів: (5, 12) або (12, 5).

Тепер можна знайти площу трикутника, використовуючи формулу для площі прямокутного трикутника: $Площа = \frac{1}{2} \times a \times b$

Якщо довжини катетів - (5, 12): $Площа = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\, \text{см}^2$

Якщо довжини катетів - (12, 5): $Площа = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30\, \text{см}^2$

Отже, площа трикутника дорівнює 30 квадратним сантиметрам.