Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-1 ; y=0; x=1; x=2

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2-1\ \ \ \ y=0\ \ \ \ x=1\ \ \ \ x=2\ \ \ \ S=?\\S=\int\limits^2_1 {(x^2-1-0)} \, dx=\int\limits^2_1 {(x^2-1)} \, dx=(\frac{x^3}{3}-x )\ |_1^2=\\=\frac{2^3}{3}-2-(\frac{1^3}{3}-1)=\frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+1=\frac{7}{3}-1=\frac{7-3}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} .$

Ответ: S≈1,3333 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Площадь фигуры будет равна интегралу от y=x^2-1 от x=1 до x=2 минус интеграл от y=0 от x=1 до x=2.

Итак, начнем с вычисления первого интеграла:

∫[1 to 2] (x^2 - 1) dx

Для вычисления этого интеграла, найдем его первообразную:

F(x) = (1/3)x^3 - x

Теперь вычислим значение первого интеграла:

∫[1 to 2] (x^2 - 1) dx = [((1/3)(2^3) - 2) - ((1/3)(1^3) - 1)] = [(8/3 - 2) - (1/3 - 1)] = [(8/3 - 6/3) - (-2/3)] = (2/3) - (-2/3) = 4/3

Теперь вычислим второй интеграл:

∫[1 to 2] 0 dx = 0

Теперь вычтем второй интеграл из первого:

Площадь фигуры = (4/3) - 0 = 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-1, y=0, x=1 и x=2, равна 4/3 квадратных единицы.