Question

5.133. Докажите, что выражение принимает лишь положительное значение: 1) a²+2a+22) x²+y²-2xy+43) 4m²-4m+44) a²+b²+c²-2bc+3​

Answer 1

Ответ:

Доказано

Объяснение:

1)a^2+2a+2=(a+1)^2+1>=1 (потому-что квадрат числа всегда >=0(потому-что минус*минус и плюс * плюс и 0*0>=0)

2)x^2+y^2-2xy+4=(x-y)^2+4>=4

3)4m^2-4m+4=(2m^2-1)^2+4>=4

4)a^2+b^2+c^2-2bc+3=a^2+(b-c)^2+3>=3

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение поочередно:

1. $a^2 + 2a + 2$

Данное выражение представляет собой квадратное уравнение, где $a$ - переменная. После приведения подобных членов, оно может быть записано в виде:

$a^2 + 2a + 1 + 1 = (a + 1)^2 + 1$

Так как квадратный член $(a + 1)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю только при $a = -1$), а прибавление положительного числа к неотрицательному числу дает положительное число, то данное выражение принимает только положительные значения при любых значениях $a$.

2. $x^2 + y^2 - 2xy + 4$

Это тоже квадратное уравнение. Мы можем переписать его в виде:

$(x - y)^2 + 4$

Квадратный член $(x - y)^2$ всегда неотрицателен, а прибавление положительного числа к неотрицательному числу дает положительное число. Поэтому данное выражение также принимает только положительные значения при любых значениях $x$ и $y$.

3. $4m^2 - 4m + 4$

Мы можем разложить выражение:

$4(m^2 - m + 1)$

Поскольку $m^2 - m$ представляет собой параболу, которая всегда выше оси абсцисс, а добавление положительного числа увеличивает значение выражения, то данное выражение принимает только положительные значения при любых значениях $m$.

4. $a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 3$

Это выражение можно переписать следующим образом:

$(a - 0)^2 + (b - c)^2 + 3$

Квадратные члены $(a - 0)^2$ и $(b - c)^2$ всегда неотрицательны, а прибавление положительного числа к неотрицательному числу дает положительное число. Поэтому данное выражение также принимает только положительные значения при любых значениях $a$, $b$ и $c$.

Итак, все четыре выражения принимают только положительные значения при соответствующих значениях переменных.