Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абцисою x0 , якщо: 1)f(x)=x²-√x, x0=42)f(x)=sinx, x0=- π/3​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$1)\ f(x)=x^2-\sqrt{x} \ \ \ \ x_0=4\\y_k=y(x_0)+y'(x_0)*(x-x_0)\\y(4)=4^2-\sqrt{4}=16-2=14.\\y'(x_0)=(x^2-\sqrt{x} )'=2x-\frac{1}{2\sqrt{x} }\\y'(4)=2*4-\frac{1}{2*\sqrt{4} } =8-\frac{1}{2*2}=8-\frac{1}{4} =7\frac{3}{4}=7,75. \\y_k=14+7,75*(x-4)=14+7,75x-31=7,75x-17.$

Ответ: yk=7,75x-17.

$2)\ f(x)=sinx\ \ \ \ x_0=-\frac{\pi }{3} \\y_k=y(x_0)+y'(x_0)*(x-x_0).\\y(-\frac{\pi }{3})=sin(-\frac{\pi }{3} =-sin\frac{\pi }{3} =-\frac{\sqrt{3} }{2}.\\y'(x_0)=(sinx)' =cosx\\y'(-\frac{\pi }{3})=cos(-\frac{\pi }{3} )=cos\frac{\pi }{3} =\frac{1}{2}\\y_k=-\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{1}{2}*(x-(-\frac{\pi }{3}))=-\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6} =0,5x+\frac{\pi -3\sqrt{3} }{6}.\\y_k=0,5x+\frac{\pi -3\sqrt{3} }{6}.$

Answer 2

Для того, щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абцисою x0, нам потрібно визначити похідну функції f та використовувати її значення у точці x0 для побудови рівняння дотичної.

1. Функція f(x) = x² - √x Для початку обчислимо похідну функції f(x): f'(x) = 2x - (1/2) * x^(-1/2)

   Тепер ми можемо обчислити значення похідної в точці x0 = 4: f'(4) = 2 * 4 - (1/2) * 4^(-1/2) = 8 - 1/4 = 31/4

   Таким чином, ми маємо значення похідної f'(4) = 31/4 у точці x0 = 4.

   Тепер ми можемо скласти рівняння дотичної за допомогою формули для лінійної функції: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0)

   Підставимо значення x0 = 4 та f'(4) = 31/4: y - f(4) = (31/4) * (x - 4)

   Зараз обчислимо значення f(4): f(4) = 4^2 - √4 = 16 - 2 = 14

   Підставимо це значення в рівняння: y - 14 = (31/4) * (x - 4)

   Це є рівняння дотичної до графіка функції f в точці x0 = 4.

2. Функція f(x) = sin(x) Обчислимо похідну функції f(x): f'(x) = cos(x)

   Тепер ми можемо обчислити значення похідної в точці x0 = -π/3: f'(-π/3) = cos(-π/3)

   Знаючи значення косинуса відповідного кута (-π/3), ми можемо записати рівняння дотичної: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0)

   Підставимо значення x0 = -π/3 та f'(-π/3): y - sin(-π/3) = cos(-π/3) * (x - (-π/3))

   Відомо, що sin(-π/3) = -√3/2 та cos(-π/3) = 1/2, тому можемо підставити ці значення: y + √3/2 = (1/2) * (x + π/3)

   Це є рівняння дотичної до графіка функції f в точці x0 = -π/3.