Question

4. Сумма разности квадратов двух последовательных натуральных чисел и разности квадратов, следующих двух последовательных натуральных чисел равна 10. Найдите этичисла, если разности квадратов неотрицательны.​

Answer 1

Ответ:   1 , 2 , 3 , 4 .

Последовательные натуральные числа:  $n\ ,\ (n+1)\ ,\ (n+2)\ ,\ (n+3)$  .

Так как разности квадратов последовательных натуральных чисел неотрицательны, то надо из квадрата последующего числа вычитать квадрат предыдущего числа.

$\Big((n+1)^2-n^2\Big)+\Big((n+3)^2-(n+2)^2\Big)=10\\\\\Big(n^2+2n+1-n^2\Big)+\Big(n^2+6n+9-(n^2+4n+4)\Big)=10\\\\(2n+1)+(6n+9-4n-4)=10\\\\2n+1+2n+5=10\\\\4n+6=10\\\\4n=4\\\\n=1\\\\(n+1)=2\ ,\ (n+2)=3\ ,\ (n+3)=4$

Проверка.  $(2^2-1^2)+(4^2-3^2)=(4-1)+(16-9)=3+7=10$

Answer 2

Пусть первое натуральное число равно n, тогда второе натуральное число будет n + 1.

Рассмотрим разность квадратов этих двух чисел:

(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1

Теперь рассмотрим разность квадратов следующих двух последовательных натуральных чисел:

(n + 2)^2 - (n + 1)^2 = (n^2 + 4n + 4) - (n^2 + 2n + 1) = 2n + 3

Условие задачи гласит, что разность между этими двуми разностями квадратов равна 10:

(2n + 1) - (2n + 3) = 10

Упростим уравнение:

2n + 1 - 2n - 3 = 10

2n - 2n + 1 - 3 = 10

-2 = 10

Это уравнение не имеет решений, так как оно приводит к противоречию. Поэтому задача не имеет натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задачи.