Question

Дифференцированное уравнение: y'cosx+3sinx=1 x0=0, y0=2

Answer 1

Ответ:

$y = \ln |\sin x + 1| + 2\ln |\cos x| + 2.$

Объяснение:

Начнём с классификации данного ДУ. Оно является обыкновенным ДУ первого порядка первой степени с разделяющимися переменными. В таком случае, разделим их:

$></p> <p>Перепишем в нотации Лейбница:</p> <p><img src=$

Переменные оказались успешно разделены. Следующим шагом будет интегрирование обеих частей уравнения.

Левая часть:

$\int \text{d}y = y + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Правая часть:

$\int \frac{1 - 3 \sin x}{\cos x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}x}{\cos x} - 3\int \frac{\sin x}{\cos x}\ \text{d}x = (*).$

Возьмём сначала первый интеграл:

$\int \frac{\text{d}x}{\cos x} = \int \sec x\ \text{d}x = \int \frac{(\sec x)(\text{tg}\, x + \sec x)}{\text{tg}\, x + \sec x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{tg}\, x\sec x + \sec^2x}{\text{tg}\, x + \sec x}\ \text{d}x = (**).$

Сделаем подстановку:

$t = \text{tg}\, x + \sec x;\ \ \text{d}t = (\text{tg}\, x \sec x + \sec^2 x)\ \text{d}x.$

Тогда:

$(**)= \int \frac{\text{d}t}{t} = \ln |t| = \ln|\text{tg}\, x + \sec x| + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Теперь возьмём второй интеграл:

$\int \frac{\sin x}{\cos x}\ \text{d}x = -\int \frac{\text{d}(\cos x)}{\cos x} = (***).$

Пусть $u = \cos x$, тогда:

$(***)= -\int \frac{\text{d}u}{u} = -\ln |u| = -\ln |\cos x|+c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Тогда в общем:

$(*)= \ln |\text{tg}\, x + \sec x| -3(-\ln|\cos x|) + c =\\= \ln | \text{tg}\, x + \sec x| + 3\ln|\cos x| +c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Теперь совершим преобразования выражения для его упрощения:

$\ln|\text{tg}\, x + \sec x| + 3 \ln |\cos x| + c =\\= \ln|\text{tg}\, x + \sec x| + \ln |\cos^3 x| + c =\\= \ln|(\text{tg}\,x+\sec x)\cos^3x|+c =\\= \ln\left|\left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x}\right) \cos^3x\right| + c=\\= \ln|(\sin x + 1)\cos^2 x|+c=\\= \ln|\sin x + 1| + \ln |\cos ^2 x| + c =\\= \ln |\sin x + 1| + 2\ln|\cos x| + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Общим решением данного ДУ будет:

$y = \ln|\sin x + 1| + 2\ln|\cos x|+c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Однако решение требуется не общее, а частное, под такие условия:

$y_0 = 2;\ \ x_0 = 0.$

Или, более формально, если $y = y(x)$, то $y(0)=2.$

Подставим тогда данные значения в общее решение и решим уравнение относительно константы $c$:

$2 = \ln|\sin 0 + 1| + 2 \ln|\cos 0| + c;\\2 = \ln |1| + 2\ln|1| + c;\\2 = 0 + 2 \cdot 0 + c;\\2 = c.$

Получили, что $c = 2$. (и действительно, $2 \in \mathbb{R}$.)

Тогда частным решением данного ДУ с заданными условиями будет:

$y=\ln|\sin x + 1| + 2\ln |\cos x| + 2.$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $y'\cos(x) + 3\sin(x) = 1$ с начальным условием $x_0 = 0, y_0 = 2$, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

1. Начнем с выражения уравнения в виде $y' = \frac{1 - 3\sin(x)}{\cos(x)}$.
2. Разделим обе стороны уравнения на $1 - 3\sin(x)$: $\frac{y'}{1-3\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)}$.
3. Затем проинтегрируем обе стороны уравнения относительно переменной $x$.

$$\int \frac{1}{1-3\sin(x)} \,dy = \int \frac{1}{\cos(x)} \,dx$$

4. Решим обе интеграции, затем добавим константу интеграции.

$$\ln|1-3\sin(x)| = \ln|\sec(x)| + C$$

где $C$ — константа интеграции.

5. Применим начальное условие $x_0 = 0, y_0 = 2$, чтобы найти значение константы $C$:

$$\ln|1-3\sin(0)| = \ln|\sec(0)| + C \implies C = 0$$

6. Теперь у нас есть общее решение:

$$\ln|1-3\sin(x)| = \ln|\sec(x)|$$

7. Для нахождения частного решения найдем экспоненту от обеих сторон уравнения:

$$|1-3\sin(x)| = |\sec(x)|$$

8. Разберемся с модулями. Заметим, что $\sec(x)$ всегда положителен, поэтому мы можем убрать модули:

$$1-3\sin(x) = \sec(x) \quad \text{или} \quad 1-3\sin(x) = -\sec(x)$$

9. Решим оба варианта:

a. $1-3\sin(x) = \sec(x)$:

$$\sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{3}$$

b. $1-3\sin(x) = -\sec(x)$:

$$\sin(x) + \cos(x) = -\frac{1}{3}$$

10. Подставим начальные условия $x_0 = 0, y_0 = 2$ в оба уравнения и найдем конкретные значения констант:

a. Для $\sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{3}$:

$$\sin(0) + \cos(0) = 1 = \frac{1}{3} \quad \text{(неверно)}$$

b. Для $\sin(x) + \cos(x) = -\frac{1}{3}$:

$$\sin(0) + \cos(0) = 1 = -\frac{1}{3} \quad \text{(неверно)}$$

Оба варианта не соответствуют начальным условиям. Возможно, в процессе решения была допущена ошибка. Пожалуйста, перепроверьте выкладки.