Question

Найти координаты Параболы и точки пересечения параболы с осями координат: 1) у=(х-4 )^2+4; 2)у=х^2+х; 3)у=х^2-4х+3; 4)у=2х^2-3х-2.

Answer 1

1) Вершина параболы имеет координаты ( 4; 4)
С осью х нет пересечения
С осью у пересечение ( 0;20 )
2) у = х² + х = (х + 1/2)² - 1/4
    Вершина параболы имеет координаты (-1/2; -1/4)
С осью пересечение в точках  (0;0) и (-1; 0)
С осью у пересечение  ( 0;0)
3) х² - 4х +3 = ( х - 2)² -1  
 Вершина параболы имеет координаты (2; -1)
С осью пересечение в точках  (1; 0) и (3 ; 0)
С осью у пересечение  ( 0;3)
4) у = 2х² - 3х - 2 = 2( х - 3/4)² - 25/8
вершина параболы имеет координаты: ( 3/4; - 25/8)
с осью х пересечение (-1/2; 0)  и  ( 2;  0)
с осью у пересечение  (0; -2)

Answer 2

Для каждой из парабол, мы можем найти координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат.

1) y = (x-4)^2 + 4

Данная парабола имеет стандартный вид у = a(x-h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы. Сравнивая данное уравнение с у = a(x-h)^2 + k, мы можем найти координаты вершины параболы: h = 4 k = 4

Теперь найдем точки пересечения с осями координат: - Пересечение с осью абсцисс (x-ось): y = 0 0 = (x-4)^2 + 4 (x-4)^2 = -4 Так как квадрат никогда не может быть отрицательным, то данная парабола не пересекает ось абсцисс.

- Пересечение с осью ординат (y-ось): x = 0 y = (0-4)^2 + 4 y = 16 + 4 y = 20 Точка пересечения с осью ординат: (0, 20)

2) y = x^2 + x

В данном случае, парабола также имеет стандартный вид у = a(x-h)^2 + k. Сравнивая данное уравнение с у = a(x-h)^2 + k, мы можем найти координаты вершины параболы: h = -0.5 k = -0.25

Теперь найдем точки пересечения с осями координат: - Пересечение с осью абсцисс (x-ось): y = 0 0 = x^2 + x x(x+1) = 0 x = 0 или x = -1 Точки пересечения с осью абсцисс: (0, 0) и (-1, 0)

- Пересечение с осью ординат (y-ось): x = 0 y = (0)^2 + 0 y = 0 Точка пересечения с осью ординат: (0, 0)

3) y = x^2 - 4x + 3

Снова используем стандартный вид у = a(x-h)^2 + k. Сравнивая данное уравнение с у = a(x-h)^2 + k, мы можем найти координаты вершины параболы: h = 2 k = -1

Теперь найдем точки пересечения с осями координат: - Пересечение с осью абсцисс (x-ось): y = 0 0 = x^2 - 4x + 3 (x-3)(x-1) = 0 x = 3 или x = 1 Точки пересечения с осью абсцисс: (3, 0) и (1, 0)

- Пересечение с осью ординат (y-ось): x = 0 y = (0)^2 - 4(0) + 3 y = 3 Точка пересечения с осью ординат: (0, 3)

4) y = 2x^2 - 3x - 2

Снова используем стандартный вид у = a(x-h)^2 + k. Сравнивая данное уравнение с у = a(x-h)^2 + k, мы можем найти координаты вершины параболы: h = 0.75 k = -3.375

Теперь найдем точки пересечения с осями координат: - Пересечение с осью абсцисс (x-ось): y = 0 0 = 2x^2 - 3x - 2 2x^2 - 3x - 2 = 0 Решая данное квадратное уравнение, мы получаем две точки пересечения с осью абсцисс: (2, 0) и (-0.5, 0)

- Пересечение с осью ординат (y-ось): x = 0 y = 2(0)^2 - 3(0) - 2 y = -2 Точка пересечения с осью ординат: (0, -2)

Таким образом, мы нашли координаты парабол и точки пересечения с осями координат для каждого из уравнений.