Question

Общее решение дифференциальных уравнений 1 порядка 3^( x^2+y)×dy+x×dx=0

Answer 1

Ответ:

$3^{x^2+y}\cdot dy+x\cdot dx=0\\\\3^{x^2}\cdot 3^{y}\cdot dy+x\cdot dx=0\ \ ,\ \ \ \int 3^{y}\cdot dy=-\int\dfrac{x\, dx}{3^{x^2}}\ \ ,\\\\\\\int 3^{y}\cdot dy=-\int 3^{-x^2}\cdot x\, dx\ \ \ ,\ \ \ \int 3^{y}\cdot dy=\dfrac{1}{2}\int 3^{-x^2}\cdot (-2x)\, dx\ \ ,\\\\\\\dfrac{3^{y}}{ln3}=\dfrac{3^{-x^2}}{ln3}+\dfrac{C}{ln3}\ \ ,\ \ \ \ 3^{y}=3^{-x^2}+C\ \ ,\ \ \ \ \boxed{\ y=log_3(3^{-x^2}+C)\ }$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения 1-го порядка, вы можете использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

3^(x^2 + y) dy + x dx = 0

Чтобы разделить переменные, вы можете выразить dy и dx в отдельных дифференциалах и переместить все слагаемые, содержащие y, на одну сторону, а все слагаемые, содержащие x, на другую сторону:

3^(x^2 + y) dy = -x dx

Теперь давайте разделим переменные, разделив обе стороны на соответствующие функции:

dy / 3^(x^2 + y) = -dx / x

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны. Левую сторону можно проинтегрировать с помощью замены переменной, введя новую переменную u = x^2 + y:

∫(1/3^u) du = -∫(1/x) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

(-1/ln(3)) ∫3^(-u) du = -ln|x| + C₁

(-1/ln(3)) * (-3^(-u) / ln(3)) = -ln|x| + C₁

(1/ln(3)) * 3^(-u) = ln|x| + C₁

Теперь вернемся к переменной u, используя u = x^2 + y:

(1/ln(3)) * 3^(-(x^2 + y)) = ln|x| + C₁

Теперь вы можете преобразовать это уравнение, чтобы изолировать y:

3^(-(x^2 + y)) = ln(3^(ln|x| + C₁))

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон:

-(x^2 + y) = ln(3^(ln|x| + C₁))

Теперь можно избавиться от минуса, умножив обе стороны на -1:

x^2 + y = -ln(3^(ln|x| + C₁))

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

x^2 + y = -ln(3^(ln|x| + C₁))

где C₁ - произвольная постоянная.