Question

Вычислить определенный интеграл 4 ∫хlnxdx е

Answer 1

$\int\limits^4_{e} {x\, lnx} \, dx =[\, u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x\, dx,\; v=\frac{x^2}{2}\, ]=\\\\ =uv-\int {v} \, du = \frac{x^2}{2}lnx|_{e}^4-\frac{1}{2}\int\limits^4_{e} {x} \, dx = \\\\=8\cdot ln4-\frac{e^2}{2}\cdot lne-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}|_{e}^4=\\\\=16\cdot ln2-\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{4}(16-e^2)=16\cdot ln2-\frac{1}{4}e^2-4$

Answer 2

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫(4xln(x)dx) от 'е' до '4', мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод позволяет переписать интеграл в другом виде, чтобы упростить его вычисление.

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫(u * v)dx = u * ∫vdx - ∫(u' * ∫vdx)dx, где u и v - функции, а u' - производная функции u.

В данном случае, мы выберем: u = ln(x) (функция, которая стоит перед dx) dv = 4xdx (дифференциал от функции, с которой умножается u)

Теперь, мы можем вычислить производную от u и интеграл от dv: u' = 1/x (производная от ln(x)) v = 2x^2 (интеграл от 4xdx)

Теперь, мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫(4xln(x)dx) = ln(x) * ∫(4xdx) - ∫(1/x * ∫(4xdx)dx)

Вычислим каждую часть по отдельности:

1) ∫(4xdx) = 2x^2 + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

2) ∫(1/x * ∫(4xdx)dx) = ∫(1/x * (2x^2 + C1))dx = ∫(2x + C1/x)dx = x^2 + C1 * ln(x) + C2, где C2 - другая постоянная интегрирования.

Теперь, мы можем собрать все части вместе: ∫(4xln(x)dx) = ln(x) * (2x^2 + C1) - (x^2 + C1 * ln(x) + C2) = 2x^2 ln(x) + C1 ln(x) - x^2 - C1 ln(x) - C2 = 2x^2 ln(x) - x^2 - C2

Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл от 'е' до '4', мы должны подставить значения вместо 'x' и вычислить разницу: ∫(4xln(x)dx) от 'е' до '4' = (2(4)^2 ln(4) - (4)^2 - C2) - (2(е)^2 ln(е) - (е)^2 - C2) = (32 ln(4) - 16 - C2) - (2е^2 ln(е) - е^2 - C2)

Таким образом, определенный интеграл ∫(4xln(x)dx) от 'е' до '4' равен (32 ln(4) - 16 - C2) - (2е^2 ln(е) - е^2 - C2).