Question

При каких значениях параметра а , произведение корней уравнения х^2+5ах+А^2+4а+10=0 равно 10​

Answer 1

$x^2+5ax+a^2+4a+10=0$

Произведение корней приведённого трёхчлена равно свободному члену. В данном случае свободным членом является $a^2+4a+10$. Этот член должен быть равен 10:

$a^2+4a+10=10\\a^2+4a=0\\a(a+4)=0\\a_1=0\\a_2=-4$

Так как в исходном многочлене параметр присутствует и во втором члене, проверим оба корня:

$a=0\\x^2+5 \cdot 0+0=0\\x=0$

Видим, что первый корень не подходит. Проверим второй корень:

$x^2+ 5 \cdot (-4)x+(-4)^2-16+10=0\\x^2-20x+10=0$

Убедимся, что корни существуют. Для этого дискриминант должен быть положителен:

$D=(-20)^2-4 \cdot 10=400-40=360>0$

Корни существуют.

Ответ: $a=-4$.

Answer 2

Для найти значения параметра "а", при которых произведение корней уравнения $x^2 + 5ax + a^2 + 4a + 10 = 0$ равно 10, мы можем использовать формулу для нахождения произведения корней квадратного уравнения.

Если у нас есть квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, то произведение корней ($x_1$ и $x_2$) этого уравнения можно найти по следующей формуле:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

В данном случае, $a = 1$, $b = 5a$, и $c = a^2 + 4a + 10$. Мы хотим, чтобы произведение корней было равно 10, поэтому мы можем записать уравнение:

$$\frac{a^2 + 4a + 10}{1} = 10$$

Теперь решим это уравнение:

$$a^2 + 4a + 10 = 10$$

Вычитаем 10 с обеих сторон:

$$a^2 + 4a = 0$$

Теперь факторизуем левую сторону:

$$a(a + 4) = 0$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения параметра "а", при которых произведение корней уравнения равно 10:

1. $a = 0$
2. $a + 4 = 0 \Rightarrow a = -4$

Таким образом, при $a = 0$ и $a = -4$ произведение корней уравнения $x^2 + 5ax + a^2 + 4a + 10 = 0$ равно 10.