Question

Вычисите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2х^2 и у=2х​

Answer 1

Ответ:

1/3

Объяснение:

 Границы фигуры по оси абсцисс определяются из уравнения

$2x^2=2x\\\\2x^2-2x=0\\\\2x(x-1)=0\\\\\left[\begin{array}{c}x_1=0\\x_2=1\end{array}\right$

 Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями, равна

$S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(2x-2x^2)} \, dx = \int\limits^{1}_{0} {(2x-2x^2)} \, dx = 2\int\limits^{1}_{0} {x} \, dx - 2\int\limits^{1}_{0} {x^2} \, dx=2\cdot\frac{x^2}{2}\Big|^{1}_{0} -2\cdot\frac{x^3}{3} \Big |^{1}_{0}=2\cdot(\frac{1}{2}-0-\frac{1}{3}+0 )=\frac{1}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя графиками функций y = 2x^2 и y = 2x, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл от разности этих функций между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения:

Уравнение 2x^2 = 2x можно решить следующим образом:

2x^2 - 2x = 0

2x(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. x = 0
2. x - 1 = 0, что дает x = 1

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, мы можем взять интеграл от разности этих функций от x = 0 до x = 1:

S = ∫[0, 1] (2x - 2x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [x^2 - (2/3)x^3] |[0, 1]

S = (1^2 - (2/3)1^3) - (0^2 - (2/3)0^3)

S = (1 - 2/3) - (0 - 0)

S = 1/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x^2 и y = 2x, равна 1/3 квадратных единиц.