Question

Периметр правильного треугольника, вписанного вокружность, равен 54 см. Найдите периметр и площадь правильногошестиугольника, описанногооколо этой же окружности.Помогите пожалуйста! Желательно с дано и чертежем! ​

Answer 1

Ответ:     P₆  = 36√ 3 см ;   S₆ = 162√ 3 см².

Объяснение:

Дано : Р₃ = 54 см

Знайти :  Р₆  і  S₆ .

Р₃ = 54 см ,  тому  а₃ = 54 : 3 = 18 ( см ) ; h₃ = ( a√ 3 )/2 = 18√ 3/2=9√ 3 (см) .

R = 2/3 h₃ = 2/3 * 9√ 3 = 6√ 3 ( см ) ;

R = a₆ = 6√ 3 см ;  P₆ = 6a₆ = 36√ 3 ( см ) ;

S₆ = 6S₃ = 6 * ( a²√ 3 )/4 =  162√ 3 ( см² ) .

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

$P_1$ - периметр правильного треугольника, $P_2$ - периметр правильного шестиугольника, $R$ - радиус вписанной окружности.

Согласно условию задачи, периметр правильного треугольника равен 54 см. Так как у правильного треугольника три одинаковые стороны, то:

$P_1 = 3a,$

где $a$ - длина стороны треугольника.

Также известно, что радиус вписанной окружности в правильный треугольник связан с его стороной следующим образом:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}.$

Теперь мы можем выразить длину стороны через радиус:

$a = 2R\sqrt{3}.$

Теперь, зная, что периметр треугольника равен 54 см, мы можем найти радиус:

$P_1 = 3a = 3 \cdot 2R\sqrt{3} = 6R\sqrt{3} = 54.$

Отсюда получаем:

$R = \frac{54}{6\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}.$

Теперь мы можем найти периметр и площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг той же окружности.

Периметр правильного шестиугольника равен удвоенному периметру треугольника:

$P_2 = 2 \cdot P_1 = 2 \cdot 54 = 108 \, \text{см}.$

Теперь найдем площадь правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника можно выразить как:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2,$

где $a$ - длина стороны шестиугольника.

Мы уже выразили $a$ через $R$:

$a = 2R\sqrt{3}.$

Подставим это выражение:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2R\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12R^2 = 18R^2\sqrt{3}.$

Теперь, подставим значение $R$, которое мы нашли ранее:

$S_2 = 18 \cdot (3\sqrt{3})^2\sqrt{3} = 18 \cdot 27 \sqrt{3} = 486 \sqrt{3} \, \text{см}^2.$

Итак, периметр правильного шестиугольника равен 108 см, а площадь равна $486 \sqrt{3} \, \text{см}^2$.