Question

Высота, проведённая из вершины прямого угла, равна 2 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 3 см. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

Так как высота проведена из вершины прямого угла то высота попадет на гипотенузу.  А отрезки на которые делит высота гипотенузу являются проекциями катетов пусть  с-это гипотенуза  ; $\displaystyle\ a_x$  и   $\displaystyle\ b_x$   -это проекции катетов(сторон треугольников) a и b ;  для них есть правила                                                                                             $\displaystyle\bf 1)c=a_x+b_x\qquad 3)a^2=a_x\cdot c\\\\2)h^2=a_x\cdot b_x \qquad 4)b^2=b\cdot c$                                                                              нам известно    что   $\displaystyle\ a_x=b_x+3$     дальше будем использовать 2-ю формулу                                                                                                 $\displaystyle\bf 2^2=b_x(b_x+3)\\\\b_x^2+3b_x-4=0 \\\\\left \{ {{b_1+b_2=-3} \atop {b_1b_2=-4}} \right. =>\boxed{b_x=1\quad ; \quad a_x=4\quad ; \quad c=5}$                                             Дальше найдем стороны a и b через 3-ю и 4-ю формулу                       $\displaystyle\bf a^2=5\cdot1=> a=\sqrt{5} \\\\b^2=5\cdot4=> b=2\sqrt{5}$                                                                                       Ответ: у треугольника длины сторон равны   √5 ; 2√5  и 5                                                                                                                                                                                                        

Answer 2

Пусть $AC$ — гипотенуза, а $AD$ — проведённая высота из вершины прямого угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle ACB$ — прямой угол).

Также пусть $CD = x$ и $BD = AC - x$, так как проведённая высота делит гипотенузу на два отрезка, и один отрезок (то есть $CD$) больше другого (то есть $BD$) на 3 см.

Используем подобие треугольников $ADC$ и $BDC$. По свойствам подобных треугольников отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот:

$$\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{BD}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AC}{x} = \frac{BC}{AC - x}$$

Теперь подставим известное значение для высоты $AD$:

$$\frac{AC}{2} = \frac{BC}{AC - 2}$$

Умножим обе стороны на $AC - 2$ и решим уравнение:

$$AC \cdot (AC - 2) = 2 \cdot BC$$

$$AC^2 - 2AC = 2BC$$

Теперь используем тот факт, что проведённая высота делит гипотенузу на два отрезка, один из которых больше другого на 3 см:

$$AC - x = AC - 2 - 3$$

$$x = 5$$

Таким образом, $CD = x = 5$ см, а $BD = AC - x = AC - 5$ см. Теперь можно найти стороны треугольника $ABC$:

• Катет $AC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5 = 10$ см.
• Катет $BC = AC - BD = 10 - (10 - 5) = 5$ см.
• Гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны $5\sqrt{5}$ см, 10 см и 5 см.