Question

Помогите найти минимум, максимум функции y=x(x-2)³ Ответ минимум(0,5;-1,6875)

Answer 1

Ответ:

$y=x(x-2)^3\\\\y'=(x-2)^3+x\cdot 3(x-2)^2=(x-2)^2\cdot (x-2+3x)=(x-2)^2(4x-2)=0\\\\x_1=2\ ,\ x_2=0,5\\\\znaki\ y'(x):\ \ ---(0,5)+++(2)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \ \ \searrow \ \ \ (0,5)\ \ \nearrow \ \ \ (2)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \, (min)\ \ \ \ \ \ (peregib)\\\\y(min)=y(0,5)=0,5\cdot (0,5-2)^3=0,5\cdot (-1,5)^3=\boxed{-1,6875\ }$

Answer 2

Для нахождения минимума и максимума функции y = x(x-2)³, начнем с нахождения ее производной и установления точек, в которых производная равна нулю. Эти точки будут кандидатами на минимум и максимум.

1. Найдем производную функции: y = x(x-2)³ y' = d/dx [x(x-2)³]

Для вычисления производной используем правило производной произведения (производной двух функций умноженных друг на друга):

y' = x * 3(x-2)² * 1 + 1(x-2)³ * 1 y' = 3x(x-2)² + (x-2)³

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 3x(x-2)² + (x-2)³ = 0

Давайте решим это уравнение для x:

3x(x-2)² + (x-2)³ = 0

Попробуем разложить выражение (x-2)² и (x-2)³:

3x(x² - 4x + 4) + (x-2)(x-2)² = 0

Раскроем скобки:

3x³ - 12x² + 12x + x³ - 6x² + 12x - 4x + 4 = 0

Сгруппируем слагаемые:

4x³ - 18x² + 16x + 4 = 0

3. Теперь найдем корни этого уравнения. Это можно сделать с помощью методов численного решения или приближенного анализа.

После решения уравнения можно будет найти соответствующие значения y для этих x и сравнить их, чтобы определить, какая точка является минимумом, а какая - максимумом функции.