Question

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение x^2 — 4x + 6? Пожалуйста, подскажите методику, по которой решать задания такого типа.

Answer 1

Ответ:

При x = 2 выражение имеет наименьшее значение равное 2

Объяснение:

Пусть $f(x) = x^{2} - 4x + 6$

$f(x)' = (x^{2} + 4x +6)' = (x^{2} )' - (4x)' + (6)' = (x^{2} )' - 4(x)' + (6)' = 2x - 4$

$f(x)' = 0$

$2x - 4 = 0\\2x = 4|:2\\x = 2$

Так как функция от (-∞;2] - убывает, а от [2;+∞) - возрастает, точка 2 является экстремумом и точкой в которой функция имеет наименьшее значение.

$min: f(2) = 2^{2} - 4 * 2 + 6 = 4 - 8 + 6= 2$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения $x^2 - 4x + 6$, нужно использовать понятие вершины параболы. Это выражение представляет собой параболу, и минимальное значение будет находиться в вершине этой параболы. Для этого выполните следующие шаги:

1. Найдите вершину параболы $x^2 - 4x + 6$.

Формула для нахождения вершины параболы $ax^2 + bx + c$ имеет вид: $x = \frac{-b}{2a}$ $y = c - \frac{b^2}{4a}$

В вашем случае $a = 1$, $b = -4$, и $c = 6$. Подставьте эти значения в формулу, чтобы найти вершину:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$ $y = 6 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 6 - \frac{16}{4} = 6 - 4 = 2$

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 2).

2. Найдите значение выражения в вершине параболы.

Подставьте $x = 2$ в исходное выражение:

$2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$

Итак, наименьшее значение выражения $x^2 - 4x + 6$ равно 2, и оно достигается при $x = 2$.