Question

Вариант2. Решите неравенстваа) 2х^2-х-15больше0б) х^2-16<0в) х^2+12х+80<0​

Answer 1

Для того,чтобы решить любое неравенство, для начала следует приравнять его к нулю и найти корни

a)$\displaystyle 2x^{2}-x-15>0$

$\displaystyle 2x^{2}-x-15=0$

$\displaystyle D=(-1)^{2}-4*2*(-15)=1+120=121=11^{2}$

$\displaystyle x_{1} =\frac{1+11}{2*2}=\frac{12}{4}=3$

$\displaystyle x_{2} =\frac{1-11}{2*2}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}=-2,5$

Далее чертим координатную прямую и расставляем знаки(см.вложение)

Ответ: х∈(-∞;-2,5)U(3;+∞)

б)$\displaystyle x^{2}-16$

$\displaystyle (x-4)(x+4)$

$\displaystyle (x-4)(x+4)=0$

1) x-4=0

x=4

2)x+4=0

x=-4

Далее чертим координатную прямую и расставляем знаки(см.вложение)

Ответ: х∈(-4;4)

в)$\displaystyle x^{2}+12x+80>0$

$\displaystyle x^{2}+12x+80=0$

$\displaystyle D=(12)^{2}-4*1*80=144-320$

Дискриминант отрицателен ⇒ данное неравенство всегда будет больше нуля,что не соответствует вопросу задачи

Ответ: х∈∅

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по очереди:

a) 2x^2 - x - 15 > 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - x - 15 = 0:

D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-15) = 1 + 120 = 121

x1 = (-(-1) + √121) / (2 * 2) = (1 + 11) / 4 = 12 / 4 = 3 x2 = (-(-1) - √121) / (2 * 2) = (1 - 11) / 4 = -10 / 4 = -5/2

Корни уравнения: x1 = 3 и x2 = -5/2.

Теперь построим знаки выражения 2x^2 - x - 15 на интервалах между корнями и снаружи этих корней:

1. Если x < -5/2, то выражение 2x^2 - x - 15 > 0, так как на этом интервале оба множителя перед x^2 и x отрицательны.

2. Если -5/2 < x < 3, то выражение 2x^2 - x - 15 < 0, так как на этом интервале первый множитель (2x^2) положителен, а второй множитель (-x - 15) отрицателен.

3. Если x > 3, то выражение 2x^2 - x - 15 > 0, так как на этом интервале оба множителя перед x^2 и x положительны.

Итак, решение неравенства: 2x^2 - x - 15 > 0 это:

x < -5/2 или x > 3.

b) x^2 - 16 < 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 16 = 0:

D = 0^2 - 4 * 1 * (-16) = 0 + 64 = 64

x1 = (0 + √64) / (2 * 1) = 8 / 2 = 4 x2 = (0 - √64) / (2 * 1) = -8 / 2 = -4

Корни уравнения: x1 = 4 и x2 = -4.

Теперь построим знаки выражения x^2 - 16 на интервалах между корнями и снаружи этих корней:

1. Если x < -4, то выражение x^2 - 16 < 0, так как оба множителя перед x^2 и x положительны.

2. Если -4 < x < 4, то выражение x^2 - 16 > 0, так как на этом интервале первый множитель (x^2) положителен, а второй множитель (-16) отрицателен.

3. Если x > 4, то выражение x^2 - 16 < 0, так как оба множителя перед x^2 и x положительны.

Итак, решение неравенства: x^2 - 16 < 0 это:

-4 < x < 4.

c) x^2 + 12x + 80 < 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 + 12x + 80 = 0:

D = 12^2 - 4 * 1 * 80 = 144 - 320 = -176

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Так как уравнение не имеет действительных корней, то оно не меняет знак на всей числовой прямой. Таким образом, решение неравенства: x^2 + 12x + 80 < 0 это пустое множество, то есть неравенство не имеет решений на множестве действительных чисел.