Question

При каких значениях параметра а уравнение а(2а+4)х^2-(a+2)x-5a-10=0 имеет больше одного решения?

Answer 1

Ответ:

Ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.

Пошаговое объяснение: Рассмотрим отдельно случай, когда а = 0. Имеем следующее уравнение: -2x = 10, имеющее единственный корень. Данное значение а нам не подходит.

Пусть а = -2. Имеем следующее уравнение:

0x² - (0+2)x +10 - 10 = 0; 10 = 10 ⇒ x - любое число. Корней бесконечно много, поэтому это значение параметра нам подходит.

Если а ≠ 0, то уравнение - квадратное и имеет больше одного корня, если его дискриминант D > 0.

Найдем дискриминант:

D = (-(a+2))² - 4a(2a + 4)(-5a - 10) = a² + 4a + 4 + 4a(2a + 4)(5a

+ 10) = a²+ 4a + 4 + 4a(10a² + 20a + 20a + 40) = a² + 4a + 4 + 40a³ + 160a² + 160a = 40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0.

40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0

40a³ + a² + 160a² + 4a + 160a + 4 > 0

a²(40a + 1 ) + 4a(40a + 1) + 4(40a + 1) > 0

(40a + 1)(a² + 4a + 4)>0

(40a + 1)(a + 2)²> 0

40a+ 1 > 0 ⇒ a > -1/40.

Не забываем про a = -2 и а = 0, записываем ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело больше одного решения, дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В данном случае, ваше уравнение имеет вид:

a(2a+4)x^2 - (a+2)x - 5a - 10 = 0

Соответственно, a = 2a + 4, b = -(a+2), и c = -(5a+10).

Теперь мы можем вычислить дискриминант:

D = (-a - 2)^2 - 4 * a(2a+4)(-5a-10)

D = (a^2 + 4a + 4) - 4 * (2a^2 + 8a - 5a^2 - 10a)

D = a^2 + 4a + 4 - 8a^3 - 32a + 20a^2 + 40a

D = -8a^3 + 21a^2 + 12a + 4

Теперь, чтобы уравнение имело больше одного решения, дискриминант D должен быть больше нуля:

D > 0

-8a^3 + 21a^2 + 12a + 4 > 0

Теперь можно решить это неравенство. Это можно сделать с помощью графического метода, численного метода или метода интервалов. В данном случае, численный метод может быть наиболее удобным.

Один из способов это сделать - найти корни этого неравенства и выяснить интервалы, на которых оно выполняется. Определите интервалы, на которых неравенство D > 0 верно. Это позволит найти значения параметра a, при которых уравнение имеет более одного решения.

Обратите внимание, что вычисление корней и интервалов для такого кубического неравенства может потребовать вычислительных усилий, и результаты могут быть представлены в числовой форме.