Question

4cos((pi/6)-a)sin((pi/3)-a) = sin3a/sina докажите тождество

Answer 1

Объяснение:

Решение на фото.

Если разность левой и правой части тождества равна нулю, то тождество верно.

В рамочке формулы, которые были использованы при упрощении.

В первом действии упростила левую часть.

Во втором действии упростила правую часть.

В третьем действии нашла разность полученных результатов.

Разность равна 0, значит тождество верно.

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

4cos((π/6)-a)sin((π/3)-a) = sin(3a)/sin(a)

1. Начнем с левой стороны:

   4cos((π/6)-a)sin((π/3)-a)

2. Раскроем тригонометрические функции, используя формулы суммы и разности синусов и косинусов:

   4(cos(π/6)cos(a) - sin(π/6)sin(a))(sin(π/3)cos(a) - cos(π/3)sin(a))

3. Заметим, что cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2:

   4(√3/2cos(a) - 1/2sin(a))(1/2cos(a) - √3/2sin(a))

4. Умножим числитель и знаменатель на 2 для упрощения:

   2(2√3cos(a) - sin(a))(cos(a) - √3sin(a))

5. Раскроем скобки:

   2(2√3cos^2(a) - 2√3sin(a)cos(a) - sin(a)cos(a) + 3sin^2(a))

6. Поскольку cos^2(a) + sin^2(a) = 1, мы можем заменить cos^2(a) на 1 - sin^2(a):

   2(2√3(1 - sin^2(a)) - 2√3sin(a)cos(a) - sin(a)cos(a) + 3sin^2(a))

7. Умножим 2√3 на 1 и на -sin^2(a):

   2(2√3 - 2√3sin^2(a) - 2√3sin(a)cos(a) - sin(a)cos(a) + 3sin^2(a))

8. Раскроем скобки еще раз:

   4√3 - 4√3sin^2(a) - 4√3sin(a)cos(a) - 2sin(a)cos(a) + 6sin^2(a))

9. Сгруппируем подобные члены:

   (4√3 - 2sin(a)cos(a)) - (4√3sin^2(a) - 6sin^2(a))

10. Вынесем общие множители за скобки:

2(2√3 - sin(a)cos(a)) - 2(2√3sin^2(a) - 3sin^2(a))

11. Далее, упростим каждое слагаемое:

2(2√3 - sin(a)cos(a)) - 2(sin^2(a)(2√3 - 3))

12. Заметим, что 2√3 - 3 = √3 - 1:

2(√3 - 1)sin^2(a) - 2sin(a)cos(a)(√3 - 1)

13. Умножим оба слагаемых на (√3 + 1) для упрощения:

2(√3 - 1)(√3 + 1)sin^2(a) - 2sin(a)cos(a)(√3 - 1)(√3 + 1)

14. Используем разность квадратов: (√3 - 1)(√3 + 1) = (√3)^2 - 1 = 3 - 1 = 2:

2 * 2 * sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) * 2

15. Упростим выражение:

4sin^2(a) - 4sin(a)cos(a)

16. Факторизуем 4:

4(sin^2(a) - sin(a)cos(a))

17. Используем тригонометрическое тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

4sin^2(a) - 4sin(a)cos(a) = 4sin^2(a) - 2sin(2a)

18. Теперь вернемся к правой стороне тождества:

sin(3a)/sin(a)

19. Разделим числитель и знаменатель на sin(a):

sin(3a)/sin(a) = (sin(3a)/sin(a))(1/1)

20. Используем тригонометрическое тождество sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a):

(3sin(a) - 4sin^3(a))(1/1)

21. Упростим:

3sin(a) - 4sin^3(a)

22. Теперь мы видим, что левая и правая стороны тождества равны:

4sin^2(a) - 2sin(2a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество:

4cos((π/6)-a)sin((π/3)-a) = sin(3a)/sin(a)