Question

Разложите на множители многочлен :y в кубе +2y в квадрате - 4y - 8​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y^3+2y^2-4y-8=y^2(y+2)-4(y+2)=(y+2)(y^2-4)=(y+2)(y-2)(y+2)=\\=(y+2)^2(y-2)$

Answer 2

Для разложения многочлена y^3 + 2y^2 - 4y - 8 на множители, мы можем воспользоваться методом синтетического деления и пробовать делить его на возможные линейные множители.

Сначала давайте попробуем найти рациональные корни этого многочлена с помощью метода рациональных корней (теорема о рациональных корнях). Согласно этой теореме, рациональные корни многочлена будут делителями свободного члена (-8) разделенными на делители старшего коэффициента (1). Таким образом, рациональные корни будут составлять комбинации ±1, ±2, ±4, ±8.

Давайте начнем с проверки этих значений:

1. Подставим y = 1: (1)^3 + 2(1)^2 - 4(1) - 8 = 1 + 2 - 4 - 8 = -9
2. Подставим y = -1: (-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) - 8 = -1 + 2 + 4 - 8 = -3
3. Подставим y = 2: (2)^3 + 2(2)^2 - 4(2) - 8 = 8 + 8 - 8 - 8 = 0

Итак, мы видим, что y = 2 является корнем многочлена. Это значит, что (y - 2) - это один из множителей многочлена. Теперь давайте разделим многочлен на (y - 2) с помощью синтетического деления:

diffCopy code
       1  |  1   2   -4   -8
          |   1   3    -1    -12
-------------------------
             1   3     -1    -12

Таким образом, мы разделили многочлен на (y - 2) и получили квадратный трехчлен y^2 + 3y - 1 и остаток -12. Теперь разложим квадратный трехчлен на множители.

Давайте рассмотрим уравнение y^2 + 3y - 1 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение для его решения:

D = 3^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13

y1 = (-3 + √13)/2 y2 = (-3 - √13)/2

Таким образом, у нас есть два корня:

y1 = (-3 + √13)/2 y2 = (-3 - √13)/2

Теперь мы можем записать многочлен в виде произведения множителей:

y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = (y - 2)(y - y1)(y - y2)

Где y1 и y2 - найденные корни:

y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = (y - 2)((y - (-3 + √13)/2)((y - (-3 - √13)/2)

Это разложение многочлена на множители.