Question

Решите уравнение разложением на множители: 1) sin^3 x * (1 + ctgx) + cos^3 x * (1 + tgx) = 2sqrt(sin x * cos x) ;2) sin2x + 5(sinx + cosx) = -1;3)cos x + sin x - sqrt(1 - 2cos^2 x) = 04) 1 + sin 2x = 7(cos x + sin x) .​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Давайте по очереди решим каждое из уравнений с помощью разложения на множители:

1. sin^3(x) * (1 + ctg(x)) + cos^3(x) * (1 + tg(x)) = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x))

Для начала, давайте заметим, что ctg(x) = 1/tg(x), и tg(x) = sin(x)/cos(x).

Упростим уравнение:

sin^3(x) * (1 + 1/(sin(x)/cos(x))) + cos^3(x) * (1 + sin(x)/cos(x)) = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x))

sin^3(x) * (cos(x)/sin(x) + 1) + cos^3(x) * (sin(x)/cos(x) + 1) = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x))

Теперь давайте приведем общий знаменатель:

sin^3(x) * [(cos(x) + sin(x))/sin(x)] + cos^3(x) * [(sin(x) + cos(x))/cos(x)] = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x))

sin^3(x) * (cos(x) + sin(x)) + cos^3(x) * (sin(x) + cos(x)) = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x)) * sin(x) * cos(x)

Теперь разложим левую и правую стороны на множители:

(sin(x) * cos(x))^3 + sin(x)^4 + cos(x)^4 + sin(x)^3 * cos(x) = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x)) * sin(x) * cos(x)

(sin(x) * cos(x))^3 + (sin(x)^2 + cos(x)^2)^2 = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x)) * sin(x) * cos(x)

(sin(x) * cos(x))^3 + 1 = 2 * sqrt(sin(x) * cos(x)) * sin(x) * cos(x)

(sin(x) * cos(x))^3 - 2 * sqrt(sin(x) * cos(x)) * sin(x) * cos(x) + 1 = 0

Теперь это уравнение можно решить, сделав замену t = sqrt(sin(x) * cos(x)):

t^3 - 2t + 1 = 0

Это кубическое уравнение, которое можно решить численно. Однако, для нахождения аналитического решения может потребоваться использование методов кубической резолюции. Чтобы упростить решение, можно воспользоваться графическими или численными методами.

2. sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x)) = -1

Перепишем уравнение с использованием тригонометрических идентичностей:

2 * sin(x) * cos(x) + 5 * (sin(x) + cos(x)) = -1

Теперь сгруппируем слагаемые:

2 * sin(x) * cos(x) + 5 * sin(x) + 5 * cos(x) = -1

Факторизуем общий множитель sin(x) + cos(x):

(2 * cos(x) + 5) * sin(x) + (2 * sin(x) + 5) * cos(x) = -1

Теперь можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin(x) через cos(x) или наоборот:

2 * cos(x) + 5 * sin(x) + 2 * sin(x) + 5 * cos(x) = -1

(2 * cos(x) + 2 * sin(x)) + (5 * sin(x) + 5 * cos(x)) = -1

2 * (cos(x) + sin(x)) + 5 * (sin(x) + cos(x)) = -1

Теперь можем сгруппировать sin(x) + cos(x):

2 * sqrt(2) * sin(x + 45°) + 5 * sqrt(2) * sin(x + 45°) = -1

2 * sqrt(2) * sin(x + 45°) * (1 + 5) = -1

2 * sqrt(2) * sin(x + 45°) * 6 = -1

sqrt(2) * sin(x + 45°) = -1/12

Теперь можно найти sin(x + 45°):

sin(x + 45°) = (-1/12) / (sqrt(2) * 6)

sin(x + 45°) = (-1/12) / (6 * sqrt(2))

sin(x + 45°) = -1 / (12 * 6 * sqrt(2))

sin(x + 45°) = -1 / (72 * sqrt(2))

Теперь найдем обратный синус:

x + 45° = arcsin(-1 / (72 * sqrt(2)))

x = arcsin(-1 / (72 * sqrt(2))) - 45°

3. cos(x) + sin(x) - sqrt(1 - 2 * cos^2(x)) = 0

Давайте возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(cos(x) + sin(x))^2 = (sqrt(1 - 2 * cos^2(x)))^2

cos^2(x) + 2 * cos(x) * sin(x) + sin^2(x) = 1 - 2 * cos^2(x)

Теперь объединим слагаемые справа:

cos^2(x) + 2 * cos(x) * sin(x) + sin^2(x) + 2 * cos^2(x) = 1

Используем тригонометрические идентичности:

1 + 2 * cos(x) * sin(x) = 1

2 * cos(x) * sin(x) = 0

Теперь можно рассмотреть два случая:

а) 2 * cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = π/2 + kπ, где k - целое число.

б) sin(x) = 0 x = kπ, где k - целое число.

4. 1 + sin(2x) = 7(sin(x) + cos(x))

Перепишем уравнение с использованием тригонометрических идентичностей:

1 + 2 * sin(x) * cos(x) = 7 * (sin(x) + cos(x))

Теперь сгруппируем слагаемые:

2 * sin(x) * cos(x) - 7 * sin(x) - 7 * cos(x) + 1 = 0

2 * sin(x) * cos(x) - 7 * (sin(x) + cos(x)) + 1 = 0

Теперь можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin(x) через cos(x) или наоборот:

2 * sin(x) * cos(x) - 7 * (sin(x) + cos(x)) + 1 = 0

2 * (1 - cos^2(x)) * cos(x) - 7 * (1 - cos^2(x)) + 1 = 0

2 * cos(x) - 2 * cos^3(x) - 7 + 7 * cos^2(x) + 1 = 0

-2 * cos^3(x) + 7 * cos^2(x) + 2 * cos(x) - 6 = 0

Теперь это уравнение можно решить численно, например, с помощью метода Ньютона или других численных методов. Нахождение аналитического решения для данного уравнения может быть сложной задачей.