Question

Кривая удовлетворяет уравнению y”=-6x+2. Найдите ее уравнение,если она проходит через точку М (-1;-8) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательно k=y’=3

Answer 1

Ответ:

y=-x^3+x^2+8x-2

Объяснение:

y''=2-6x

y'=int(2-6x)dx=int 2 dx-6*int x dx=2x-6*x^2/2+C1=2x-3x^2+C1

y=int(2x-3x^2+C1)dx=2*int x dx-3*int x^2 dx+int C1 dx=2*x^2/2-3*x^3/3+C1*x+C2=x^2-x^3+C1*x+C2

y'(-1)=3

2*(-1)-3*(-1)^2+C1=3

-2-3+C1=3

C1=8

y(-1)=-8

(-1)^2-(-1)^3+8*(-1)+C2=-8

1+1-8+C2=-8

C2=-2

y=-x^3+x^2+8x-2

Answer 2

Для нахождения уравнения кривой, которая удовлетворяет уравнению y'' = -6x + 2 и имеет заданный угловой коэффициент k = y' = 3 в точке М (-1, -8), мы можем использовать процесс интегрирования дважды.

Начнем с интегрирования уравнения y'' = -6x + 2, чтобы найти уравнение y'. Затем мы будем интегрировать y' для нахождения y.

1. Интегрирование y'' = -6x + 2 по x дает: y' = ∫(-6x + 2) dx = -3x^2 + 2x + C1,

где C1 - константа интегрирования.

Теперь у нас есть уравнение для y'.

2. Теперь интегрируем y' = -3x^2 + 2x + C1 по x, чтобы найти y: y = ∫(-3x^2 + 2x + C1) dx = -x^3 + x^2 + C1x + C2,

где C2 - другая константа интегрирования.

Теперь у нас есть уравнение для y.

3. Далее, мы знаем, что кривая проходит через точку M (-1, -8) и имеет угловой коэффициент k = 3 в этой точке. Подставим координаты точки M в уравнение для y и значение k:

   -8 = -(-1)^3 + (-1)^2 + C1*(-1) + C2, 3 = -3*(-1)^2 + 2*(-1) + C1.

Теперь решим эту систему уравнений относительно C1 и C2.

Из второго уравнения получаем: C1 = 1 - 2 + 3 = 2.

Подставив C1 в первое уравнение, получаем: -8 = 1 - 1 + 2*(-1) + C2, откуда C2 = -10.

Итак, уравнение кривой, которая проходит через точку M (-1, -8) и имеет угловой коэффициент k = 3 в этой точке, выглядит следующим образом:

y = -x^3 + x^2 + 2x - 10.