Question

Два крана, работая вместе, загрузили баржу за 6 ч. Найдите время разгрузки баржи каждым краном, если один из них разгружает на 5 ч быстрее другого.

Answer 1

Пусть х ч - время работы одного крана, тогда (х + 5) ч - время работы другого крана.

Работу по разгрузке примем за единицу, тогда 1/х - работа, которую выполнит первый кран за 1 ч, 1/(х+5) - работа, которую выполнит второй кран за 1 ч, 1/6 - совместная работа за 1 ч. Уравнение:

1/х + 1/(х+5) = 1/6

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю х · (х +5) · 6

(х + 5) · 6 + х · 6 = х · (х + 5)

6х + 30 + 6х = х² + 5х

х² + 5х - 12х - 30 = 0

х² - 7х - 30 = 0

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 · 1 · (-30) = 49 + 120 = 169

√D = √169 = ±13

х = (-b±√D)/2a

х₁ = (7-13)/(2·1) = (-6)/2 = -3 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (7+13)/(2·1) = 20/2 = 10 (ч) - время работы одного крана

10 + 5 = 15 (ч) - время работы другого крана

Ответ: 10 ч и 15 ч.

Answer 2

Пусть время разгрузки одного крана равно $x$ часов. Тогда другой кран разгружает на $x + 5$ часов, так как он работает на 5 часов быстрее.

Объем работы, который может выполнить каждый кран за 1 час, можно обозначить как $1/x$ и $1/(x + 5)$ соответственно. Объем работы, который выполнили оба крана за 1 час работы вместе, равен сумме их индивидуальных объемов:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}$$

Согласно условию задачи, за 6 часов работы оба крана загрузили баржу:

$$6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} \right) = 1$$

Теперь мы можем решить это уравнение для $x$.

Умножим обе стороны на $6x(x+5)$ для избавления от знаменателей:

$$6(x+5) + 6x = x(x+5)$$

Упростим:

$$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$$

$$12x + 30 = x^2 + 5x$$

$$0 = x^2 - 7x - 30$$

Теперь факторизуем:

$$0 = (x - 10)(x + 3)$$

Это уравнение имеет два корня: $x = 10$ и $x = -3$. Так как время не может быть отрицательным, то $x = 10$ часов - это время разгрузки баржи первым краном. Второй кран работает на 5 часов быстрее, поэтому его время разгрузки будет $10 + 5 = 15$ часов.

Итак, первый кран разгружает баржу за 10 часов, а второй кран за 15 часов.