Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=x^2+2 y=4+x​

Answer 1

Ответ:

y=4x-x^2, y=x, y=0 б) y=x^2+2, y=4-x

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями $y = x^2 + 2$ та $y = 4 + x$, спочатку треба знайти точки їх перетину. Це точки, в яких значення $y$ обох функцій однакові. Тобто, ми розв'яжемо рівняння:

$x^2 + 2 = 4 + x$.

Після перенесення всіх термінів на одну сторону рівняння та зведення його до канонічного вигляду, отримаємо квадратне рівняння:

$x^2 - x - 2 = 0$.

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння за допомогою квадратного кореня. Рішеннями будуть:

$x_1 = 2$ і $x_2 = -1$.

Тепер ми знаємо точки перетину ліній. Щоб знайти площу між цими двома кривими, ми візьмемо інтеграл від функції $y = x^2 + 2$ від $x = -1$ до $x = 2$, і віднімемо інтеграл від функції $y = 4 + x$ від $x = -1$ до $x = 2$. Отже, площа фігури буде рівна:

$$\begin{align*} \text{Площа} &= \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) dx - \int_{-1}^{2} (4 + x) dx \\ &= \left[\frac{x^3}{3} + 2x\right]_{-1}^{2} - \left[4x + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} \\ &= \left(\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)\right) - \left(4 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} - (4 \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2})\right) \\ &= \left(\frac{8}{3} + 4\right) - \left(-\frac{1}{3} - 2\right) - \left(8 + 2 - (-4 - 0.5)\right) \\ &= \left(\frac{8}{3} + 4\right) - \left(-\frac{7}{3}\right) - \left(10.5\right) \\ &= \frac{8}{3} + 4 + \frac{7}{3} - 10.5 \\ &= \frac{19}{3} - 10.5 \\ &= -\frac{31}{6}. \end{align*}$$

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома кривими, дорівнює $-\frac{31}{6}$ квадратних одиниць.