Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3+3x^2+3 на промежутке [−3; −1]

Answer 1

3 минимальное (при у=-3)
5 максимальное (при у=-1)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3$ на заданном промежутке $[-3; -1]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции $f(x)$, на которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует в данном интервале.

2. Оцените значения функции $f(x)$ в найденных критических точках, а также на границах интервала $[-3; -1]$.

3. Сравните найденные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции.

Первый шаг - это нахождение критических точек. Для этого найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = 3x^2 + 6x.$

Теперь найдем точки, где $f'(x)$ равна нулю:

$3x^2 + 6x = 0.$

Вынесем общий множитель 3:

$3(x^2 + 2x) = 0.$

Теперь решим это уравнение:

$x^2 + 2x = 0.$

Факторизуем:

$x(x + 2) = 0.$

Имеем два возможных значения $x$:

1. $x = 0$
2. $x = -2$

Теперь оценим значения функции $f(x)$ в этих точках и на границах интервала $[-3; -1]$:

1. $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 + 3 = -27 + 27 + 3 = 3$
2. $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3 = -8 + 12 + 3 = 7$
3. $f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3 = -1 + 3 + 3 = 5$
4. $f(0) = 0^3 + 3(0)^2 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3$

Теперь у нас есть значения функции в точках -3, -2, -1 и на границах интервала $[-3; -1]$: 3, 7, 5, 3 соответственно.

Наибольшее значение функции на этом интервале равно 7 (достигается в точке $x = -2$), а наименьшее значение равно 3 (достигается в точках $x = -3$ и $x = 0$).