Question

Y''+3y'+2y=4 y(0)=5 y'(0)=-3 Рашите пожалуйста с помощью метода Лапласа

Answer 1

y=3y+2-4y

y=1x3e=4y

Чисто ответ на проверку :)

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение с помощью метода Лапласа, давайте представим функцию $y(t)$ как функцию Лапласа $Y(s)$. Затем мы преобразуем уравнение в уравнение в переменных Лапласа, решим его и найдем обратное преобразование Лапласа, чтобы получить $y(t)$.

Дифференциальное уравнение:

$Y''(s) + 3Y'(s) + 2Y(s) = \frac{4}{s}$

Начальные условия:

$Y(0) = 5, \quad Y'(0) = -3$

Применяем преобразование Лапласа к уравнению и используем начальные условия:

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = \frac{4}{s}$

Подставляем начальные условия и решаем относительно $Y(s)$:

$s^2Y(s) - 5s + 3sY(s) + 15 + 2Y(s) = \frac{4}{s}$

$(s^2 + 3s + 2)Y(s) = \frac{4}{s} + 5s - 15$

$Y(s) = \frac{4 + 5s^2 - 15s}{s(s^2 + 3s + 2)}$

Разложим дробь на простейшие дроби:

$Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+2}$

Решаем для $A, B$ и $C$ и подставляем обратно в уравнение.

$Y(s) = \frac{4}{s} - \frac{3}{s+1} + \frac{2}{s+2}$

Теперь находим обратное преобразование Лапласа для $Y(s)$ и получаем $y(t)$. Окончательный ответ:

$y(t) = 4 - 3e^{-t} + 2e^{-2t}$