Question

Докажите, что функция f(X) = x^5+5x возрастает на R

Answer 1

Объяснение:

Если  производная функции $f(x)$  положительна на некотором

интервале , то функция возрастает на данном интервале.

$f(x) =x^{5} +5x ;\\D( f)= R$

Найдем производную функции , воспользовавшись формулами

$(x^{n} )' =nx^{n-1} ;\\(kx)'=k$

и правилом нахождения производной суммы

$f'(x)= (x^{5} +5x)'=5x^{4} +5$

Так как $x^{4} \geq 0$  при любых значениях х, то $5x^{4} +5>0$  на всей R .

Тогда функция возрастает на всей области определения.

Answer 2

Для доказательства возрастания функции $f(x) = x^5 + 5x$ на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$, мы можем воспользоваться производной функции. Если производная положительна на всей числовой прямой, то функция возрастает.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 5x^4 + 5$

Теперь, чтобы доказать, что функция возрастает на всем множестве действительных чисел, нам нужно показать, что $f'(x) > 0$ для всех $x$ из $\mathbb{R}$.

Рассмотрим $f'(x) = 5x^4 + 5$. Выражение $5x^4 + 5$ всегда больше нуля для всех реальных значений $x$, так как слагаемое $5x^4$ всегда неотрицательно, и прибавление 5 к этому выражению делает его положительным. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из $\mathbb{R}$.

Таким образом, производная функции положительна для всех $x$, что означает, что функция $f(x) = x^5 + 5x$ возрастает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$.