Question

Натуральные числа a, b, c таковы, что НОД(НОК(a,b),c)⋅НОК(НОД(a,b),c)=250. Какое наибольшее значение может принимать НОД(НОК(a,b),c)?

Answer 1

Ответ:

1) Первый множитель - делитель числа 250, а их всего 8.

2) Первый множитель не больше с, второй множитель не меньше с, поэтому первый множитель не больше второго => он не превосходит sqrt(250) => варианты { 1,2,5,10 } .

3) Более того, первый множитель - делитель с, второй делится на с, поэтому первый - делитель второго.

4) Вариант 10*25 не подходит в силу 3), вариант 5*50 - подходит - например a=10, b=10, c=25.

Объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Начнем с того, что НОД(НОК(a, b), c) всегда меньше или равен минимальному из чисел a, b и c. То есть:

   НОД(НОК(a, b), c) ≤ min(a, b, c)

2. Теперь, учитывая это ограничение, мы хотим найти максимальное значение НОД(НОК(a, b), c) при условии:

   НОД(НОК(a, b), c) * НОК(НОД(a, b), c) = 250

3. Давайте предположим, что НОД(НОК(a, b), c) = x. Это означает, что x является делителем НОК(a, b) и c. Теперь мы хотим максимизировать x при условии, что x * НОК(НОД(a, b), c) = 250.

4. Заметим, что 250 = 2 * 5^3. Мы хотим разложить 250 на два множителя так, чтобы один из них был x, и остальные множители остались в НОК(НОД(a, b), c). Максимальное значение x будет достигнуто, когда x = 250 (в этом случае НОК(НОД(a, b), c) будет равно 1).

5. Таким образом, максимальное значение НОД(НОК(a, b), c) равно 250.

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать НОД(НОК(a, b), c), равно 250.