Question

Натуральные числа m и n удовлетворяют условию НОД(m, n) = 1. Какое наибольшее значение может принимать НОД(20m + n, 30n + m)?

Answer 1

Пусть x=20m + n;  y=30n + m и d=НОД(x,y). Надо найти максимально возможное значение d. Т.к. х и у делятся на d, то число 30x-y=30(20m+n)-(30n+m)=599m тоже делится на d. Аналогично, 20у-х=20(30n+m)-(20m+n)=599n делится на d. Т.к. m и n взаимно просты, то d - обязано быть делителем числа 599, т.е. d≤599. При m=29, n=19 получим  30n+m=599 и 20m+n=599, т.е. d=599. Итак, ответ: 599.

Answer 2

Давай разберемся! У нас есть два натуральных числа \( m \) и \( n \), для которых НОД \( (m, n) = 1 \). Теперь нужно найти наибольшее значение НОД выражения \( \text{НОД}(20m + n, 30n + m) \).

Давай представим два выражения в виде расширенных формул:

\[ 20m + n \] \[ 30n + m \]

Давай заметим, что можем переписать их так:

\[ 20m + n = 20m + n - 20n + 20n = 20(m - n) + n \] \[ 30n + m = 30n + m - 30m + 30m = 30(n - m) + m \]

Теперь можем выразить их через \( m \) и \( n \):

\[ 20(m - n) + n \] \[ 30(n - m) + m \]

Сейчас посмотрим на НОД этих выражений. Он будет равен наименьшему числу в выражении \( 20(m - n) + n \) и \( 30(n - m) + m \), так как \( (m, n) = 1 \) и нам нужно максимальное значение НОД.

Чтобы получить максимальное значение НОД, нам нужно, чтобы оба числа внутри НОД были как можно ближе друг к другу. Так как у нас \( (m, n) = 1 \), то \( (m - n) \) и \( (n - m) \) не могут быть оба равными нулю.

Таким образом, чтобы получить максимальное значение НОД, нужно \( (m - n) = 1 \) или \( (n - m) = 1 \), чтобы одно из чисел было равно единице.

Это возможно, если \( m = 2 \) и \( n = 1 \), или \( m = 1 \) и \( n = 2 \), так как НОД \( (1, 2) = 1 \).

Теперь подставим \( m = 2 \) и \( n = 1 \) в выражения \( 20(m - n) + n \) и \( 30(n - m) + m \):

\[ 20(2 - 1) + 1 = 20 + 1 = 21 \] \[ 30(1 - 2) + 2 = 30 - 30 + 2 = 2 \]

Теперь найдем НОД этих чисел:

\[ \text{НОД}(21, 2) = 1 \]

Итак, при \( m = 2 \) и \( n = 1 \) получается, что НОД \( (20m + n, 30n + m) = 1 \) — это максимальное возможное значение.