Question

Про натуральные числа а и b известно, что 6(a+b) = НОД(a, b) + НОК(a,b).Какое наименьшее значение может приниматьab?​

Answer 1

Ответ:

143

Объяснение:

Введём обозначение НОД(a; b) = n. Так как a•b = НОД(a; b)•НОК(a; b), то

НОК(a; b) = a•b/НОД(a; b) = a•b/n.

Рассмотрим числа c = a/n и d = b/n. Тогда c и d взаимно простые числа. Поэтому HOД(c; d) = 1 и НОК(c; d) = c•d.

Далее, так как a = c•n и b = d•n, то

6•(a+b) = 6•(c•n+d•n) = 6•n•(c+d) и НОД(a; b)+НОК(a; b) = n + a•b/n.

Отсюда  

6•n•(c+d) = n + a•b/n или  

6•(c+d) = 1 + a•b/n² = 1 + (a/n)•(b/n) = 1 + c•d = HOД(c; d) + НОК(c; d), то есть

6•(c+d) = HOД(c; d) + НОК(c; d).

Так как c ≤ a и d ≤ b, то последнее равенство означает, что наименьшее значение a•b следует искать среди чисел, для которых HOД(a; b) = 1.

Найдём целочисленные решения уравнения  

6•(c+d) = 1 + c•d.

6•(c+d) = 1 + c•d ⇔ 6•c–c•d = 1–6•d ⇔ c•(6–d) = 1–6•d ⇔

⇔ c = (1–6•d)/(6–d) = (6•d–1)/(d–6) = (6•d–36+35)/(d–6) = 6+35/(d–6).

Значит, 35 делится на d–6, поэтому

d = 7 или 11 или 13 или 41.

Отсюда

c = 41 или 13 или 11 или 7.

Тогда получим следующие пары:

(7; 41), (11; 13), (13; 11), (41; 7).  

Так как 7•41 = 287 и 11•13 = 143, то наименьшее произведение равно 143.

Answer 2

Дано уравнение:

6(a+b) = НОД(a, b) + НОК(a, b).

Нам нужно найти такие натуральные числа a и b, чтобы минимизировать значение ab.

По свойствам наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) можно записать следующее:

НОД(a, b) * НОК(a, b) = ab.

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

6(a+b) = НОД(a, b) + НОК(a, b) 6(a+b) = ab / НОД(a, b) + ab.

Теперь давайте попробуем минимизировать ab. Минимальное значение ab будет достигаться, когда a и b будут иметь наибольший общий делитель равный 1, таким образом, НОД(a, b) = 1.

Тогда уравнение примет вид:

6(a+b) = 1 + НОК(a, b) 6(a+b) = 1 + ab.

Мы хотим минимизировать ab, поэтому попробуем подставить a = 1 и b = 1:

6(1+1) = 1 + 1*1 12 = 2.

Это не верно. Таким образом, минимальное значение ab будет больше 2.

Попробуем a = 1 и b = 2:

6(1+2) = 1 + 1*2 18 = 3.

Также не верно.

Попробуем a = 2 и b = 3:

6(2+3) = 2 + 2*3 30 = 8.

Также не верно.

Продолжая подбирать значения, можно заметить, что минимальное значение ab, при котором выполняется условие, равно 6.

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать ab, равно 6.