Question

Прямая у = kx + b симметрична прямой 2х +y+2 = 0 относительно точки M(-1; 2) значение выражения k – 26

Answer 1

Ответ:

у = -2х + 2

Пошаговое объяснение:

значение выражения k – 26 - вот это вообще "не из нашей оперы"

сначала

если прямые симметричны относительно точки, то они параллельны

тогда искомая прямая вида А₁х +В₁у + С =0 (так пока удобнее ее искать. потом приведем к виду у=кх+b) будет иметь те же коэффициенты при х и у, что и заданная прямая 2х +y+2 = 0

значит, мы уже на две трети решили задачу

искомая прямая будет иметь вид 2х + у + С₁ = 0

дальше

Если прямые симметричны относительно некоторой точки, то расстояния от прямых до точки равны между собой.

формула расстояния от точки (x₀; y₀)  до прямой A₀x+B₀y+C₀=0

$\displaystyle d=\frac{|A_0x_0+B_0y_0+C_0|}{\sqrt{A_0^2+B_0^2} }$

из этого мы можем определить искомую величину С₁

точка М(-1; 2)

расстояние до прямой 2х +y+2 = 0

$\displaystyle d_1=\frac{|2*(-1)+1*2+2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2} } = \frac{2}{\sqrt{5} }$

расстояние до прямой 2х +у +С₁=0

$\displaystyle d_2=\frac{|2*(-1)+1*2+C_1|}{\sqrt{(-1)^2+2^2} } = \frac{|C_1|}{\sqrt{5} }$

и мы знаем, что d₁ = d₂

тогда |C₁| = 2    ⇒   C₁ = ±2

при C₁ = +2  мы получим уже заданную прямую 2х +y+2 = 0

тогда наше решение C₁ = -2

тогда уравнение искомой прямой 2х + у- 2 =0 или у = 2-2х

ответ

у = -2х + 2

Answer 2

Для того чтобы прямая у = kx + b была симметрична относительно точки M(-1, 2), необходимо и достаточно, чтобы серединный перпендикуляр между этими прямыми проходил через точку M.

Сначала найдем уравнение прямой 2х + y + 2 = 0 в общем виде: 2x + y + 2 = 0 y = -2x - 2

Так как прямая у = kx + b симметрична относительно точки M, то серединный перпендикуляр между ними будет проходить через точку M. Поэтому мы можем найти уравнение этого перпендикуляра, используя его угловой коэффициент, обратный угловому коэффициенту исходной прямой.

Угловой коэффициент исходной прямой у = kx + b равен k, поэтому угловой коэффициент серединного перпендикуляра будет -1/k.

Так как серединный перпендикуляр проходит через точку M(-1, 2), мы можем использовать это значение, чтобы найти уравнение серединного перпендикуляра в общем виде.

Уравнение серединного перпендикуляра: y - y₁ = -1/k(x - x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки M.

Подставляя значения M(-1, 2) в уравнение: y - 2 = -1/k(x + 1)

Теперь найдем точку пересечения серединного перпендикуляра и прямой 2х + y + 2 = 0. Для этого приравняем уравнения серединного перпендикуляра и прямой и найдем значение x.

-2x - 2 = -1/k(x + 1) -2x - 2 = -x/k - 1/k -2x + x/k = -1/k + 2 (-2kx + x)/k = -1/k + 2 (-2kx + x)/k = (2 - 1/k) (-2kx + x)/k = (2k - 1)/k -2kx + x = 2k - 1

Теперь найдем значение k - 26, подставив найденное уравнение: -2(k - 26)x + x = 2(k - 26) - 1 -2kx + 52x + x = 2k - 52 - 1 51x = 2k - 53

Таким образом, значение выражения k - 26 равно (2k - 53) / 51.