Question

Рациональный корень x²+5(1+√5)x+25√5=0 Найдите сумму корней уравнения. 1) √5 2) 5+√5 3) -5 4) -5-5√5 Найдите рациональный корень уравнения.

Answer 1

Ответ:

Можешь решить по восклицательному знаку, без нахождения корней

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения $x^2 + 5(1+\sqrt{5})x + 25\sqrt{5} = 0$ можно воспользоваться формулой Виета, которая гласит, что сумма корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$.

В данном уравнении коэффициент при $x$ равен $5(1+\sqrt{5})$, а коэффициент при $x^2$ равен 1. Таким образом, сумма корней равна:

$-\frac{5(1+\sqrt{5})}{1} = -5(1+\sqrt{5})$.

Ответ: 4) $-5(1+\sqrt{5})$.

Теперь давайте найдем рациональный корень уравнения. Рациональный корень $x$ удовлетворяет условию $x = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, не имеющие общих множителей, и $q$ не равно нулю. Мы можем использовать это условие, чтобы найти рациональный корень.

Уравнение $x^2 + 5(1+\sqrt{5})x + 25\sqrt{5} = 0$ можно переписать в виде:

$x^2 + 5x + 5\sqrt{5}x + 25\sqrt{5} = 0$.

Теперь давайте рассмотрим $x$ как рациональную дробь $x = \frac{p}{q}$:

$\left(\frac{p}{q}\right)^2 + 5\left(\frac{p}{q}\right) + 5\sqrt{5}\left(\frac{p}{q}\right) + 25\sqrt{5} = 0$.

Умножим обе стороны на $q^2$, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{p^2}{q^2} + 5\frac{pq}{q^2} + 5\sqrt{5}\frac{pq}{q^2} + 25\sqrt{5}q^2 = 0$.

Теперь мы видим, что $q^2$ является общим множителем всех членов. Так как $q^2$ не равно нулю (иначе у нас бы не было рациональных корней), мы можем сократить $q^2$ со всех членов уравнения:

$p^2 + 5pq + 5\sqrt{5}pq + 25\sqrt{5}q^2 = 0$.

Теперь мы видим, что у нас есть два слагаемых с $pq$: $5pq$ и $5\sqrt{5}pq$. Чтобы получить рациональный корень, нужно, чтобы оба слагаемых сократились. Это возможно, если: 0 0