Question

Докажите что при любом натуральным n значение выражения (5+2n)^2-(5n+2)^2 делиться на 21

Answer 1

Ответ:

раскроем скобки

25+20n+4n^2-25n^2-20n-4

сокращаем

21-21n^2

выносим 21

21(1-n^2)=21(n-1)(n+1)

следовательно, данное выражение делится на 21

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

1. Базовый шаг (n=1): При n=1, у нас есть выражение: (5 + 21)^2 - (51 + 2)^2 = (7)^2 - (7)^2 = 49 - 49 = 0. Значение выражения равно 0, и 0 делится на 21.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа k, выражение (5 + 2k)^2 - (5k + 2)^2 делится на 21.

3. Индукционный шаг: Теперь докажем, что это верно и для k+1.

   Рассмотрим выражение для k+1: (5 + 2(k+1))^2 - (5(k+1) + 2)^2 = (5 + 2k + 2)^2 - (5k + 5 + 2)^2 = (7 + 2k)^2 - (5k + 7)^2.

   Раскроем квадраты: (7 + 2k)^2 - (5k + 7)^2 = (49 + 28k + 4k^2) - (25k^2 + 70k + 49).

   Теперь выразим разницу как произведение двух выражений: (49 + 28k + 4k^2) - (25k^2 + 70k + 49) = 4k^2 + 28k - 25k^2 - 70k = -21k^2 + 28k = -7k(3k - 4).

   Мы видим, что данное выражение делится на -7k. Так как 21 = 7*3, и -7k является множителем, то это выражение также делится на 21.

   Таким образом, мы доказали, что если выражение (5 + 2k)^2 - (5k + 2)^2 делится на 21 при некотором натуральном k, то оно также делится на 21 при k+1. Таким образом, по принципу математической индукции, это утверждение верно для всех натуральных чисел n.