Question

Подробное решение, пожалуйста! ( sin 8a - sin2a ) ( cos 2a - cos 8a ) / 1 - cos6a​

Answer 1

$sin8\alpha-sin2\alpha =2\cdot sin\frac{8\alpha -2\alpha }{2} \cdot cos\frac{8\alpha +2\alpha }{2} =2\cdot sin3\alpha \cdot cos5\alpha$

$cos2\alpha-cos8\alpha =-2\cdot sin\frac{2\alpha +8\alpha }{2} \cdot sin \frac{2\alpha -8\alpha }{2} =-2\cdot sin5\alpha \cdot sin(-3\alpha) =\\\\=2\cdot sin 5\alpha \cdot sin3\alpha$

$1-cos6\alpha =2sin^23\alpha$

$\frac{(sin8\alpha-sin2\alpha)(cos2\alpha -cos8\alpha ) }{1-cos6\alpha } =\frac{2\cdot sin3\alpha\cdot cos5\alpha \cdot 2sin5\alpha \cdot sin 3\alpha }{2sin^23\alpha } =2 \cdot sin5 \alpha \cdot cos5\alpha =sin10\alpha$

Answer 2

Давайте разберемся с данным выражением:

$\frac{{\sin 8a - \sin 2a}}{{1 - \cos 6a}} \cdot \frac{{\cos 2a - \cos 8a}}{{1 - \cos 6a}}$

Сначала упростим числитель:

$\sin 8a - \sin 2a = 2 \sin 3a \cos 5a - 2 \sin a \cos a$

Теперь приведем общие множители:

$2 \sin a \cos a (\sin 3a - 1)$

Далее упростим знаменатель:

$1 - \cos 6a = 1 - (2 \cos^2 3a - 1) = 2 - 2 \cos^2 3a$

Теперь выразим $\cos^2 3a$ через $\sin 3a$ с использованием тригонометрической тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\cos^2 3a = 1 - \sin^2 3a$

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$\sin^2 3a = \frac{1 - \cos 6a}{2}$

Таким образом:

$2 - 2 \cos^2 3a = 2 - (1 - \cos 6a) = 1 + \cos 6a$

Теперь подставим обратно в исходное выражение:

$\frac{{2 \sin a \cos a (\sin 3a - 1)}}{{1 + \cos 6a}}$

У нас есть несколько упрощений, но тут нам стоит остановиться. В этом виде дальнейшее упрощение не требуется, так как нет общих множителей ни в числителе, ни в знаменателе.