Question

Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено проложить между островами подводные коммуникационные кабели так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя кабелями, а любые два малых острова были соединены одним кабелем. К 1 августа были проложены все кабели между малыми островами и несколько (не менее двух) кабелей, ведущих на большой остров, всего 46 кабелей. Сколько всего островов в архипелаге?​

Answer 1

Пусть в архипелаге x малых островов. Между малыми островами по условию проложены  $\dfrac{x(x-1)}{2}$ кабелей (в самом деле: от каждого малого острова идет x-1 кабель, умножаем на x,  чтобы найти общее число кабелей. Но каждый кабель был посчитан дважды). Кроме того, проложены $y$ кабелей к большому острову; $2\le y\le 2x.$

По условию

$\dfrac{x(x-1)}{2}+y=46.$

Поскольку $y\ge 2,$.  $\dfrac{x(x-1)}{2}\le 46-2=44\Rightarrow x^2-x\le 88.$ Напомним, что  $x$ - натуральное число, то есть $x\ge 1,$  поэтому функция $z=x^2-x$  монотонно возрастает (график этой функции - парабола с вершиной при $x=1/2$ и ветвями, направленными вверх). При этом $z(9)=9^2-9=7288\Rightarrow x\in [1;9].$

Поскольку $y\le 2x\Rightarrow$ $\dfrac{x(x-1)}{2}+2x\ge 46;\ x^2+3x\ge 92.$  Снова имеем монотонную функцию  $z=x^2+3x$         на множестве натуральных чисел;  $z(8)=.8^2+3\cdot 8=8892\Rightarrow x\ge 9.$

Вывод: $x=9.$ Добавляя к девяти малым островам один большой остров, получаем ответ к задаче.

Ответ:  10.

Answer 2

Давайте обозначим количество малых островов как "М" и количество больших островов как "Б".

Согласно условию задачи, каждый большой остров соединяется с каждым малым островом двумя кабелями. Таким образом, количество кабелей, идущих к большим островам, равно 2 * М * Б.

Также, любые два малых острова соединены одним кабелем, и количество таких комбинаций можно выразить как C(М, 2), где C - это число сочетаний. Формула для числа сочетаний C(n, k) выглядит следующим образом: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где "!" обозначает факториал.

Из условия известно, что всего 46 кабелей ведут к большим островам, поэтому у нас есть уравнение:

2 * М * Б + C(М, 2) = 46

Теперь давайте рассмотрим возможные значения М и Б. Поскольку мы знаем, что каждый остров может быть либо малым, либо большим, попробуем различные комбинации:

1. Если М = 1 (только один малый остров), то у нас есть 2 * 1 * Б + C(1, 2) = 2 * Б + 0 = 46. Это не удовлетворяет условию, так как нет такого значения Б, которое сделает это уравнение верным.

2. Если М = 2 (два малых острова), то у нас есть 2 * 2 * Б + C(2, 2) = 4 * Б + 1 = 46. Решая это уравнение, мы получаем 4 * Б = 45, что приводит к Б = 11. Это удовлетворяет условию.

Таким образом, в архипелаге есть 2 малых острова и 11 больших островов. Всего островов в архипелаге: 2 (малых) + 11 (больших) = 13 островов.