Question

При якому значенні х числа 3х - 1 , x + 5 i x + 17 будуть послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Answer 1

$.$$\displaystyle\bf\\b_{1}=3x-1\\\\b_{2} =x+5\\\\b_{3} =x+17$

Каждый  член, геометрической прогрессии , начиная со второго , равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов .

$\displaystyle\bf\\b_{2} =\sqrt{b_{1} \cdot b_{3} } \\\\b_{2} ^{2} =b_{1} \cdot b_{3} \\\\(x+5)^{2} =(3x-1)\cdot (x+17)\\\\x^{2} +10x+25=3x^{2} +51x-x-17\\\\3x^{2} +50x-17-x^{2} -10x-25=0\\\\2x^{2} +40x-42=0\\\\x^{2} +20x-21=0\\\\D=20^{2} -4\cdot(-21)=400+84=484=22^{2} \\\\x_{1} =\frac{-20+22}{2} =1\\\\x_{2} =\frac{-20-22}{2} =-21-neyd\\\\Otvet: \ x= 1$

x = - 21 не подходит , так как при этом значении x выражение

x + 5 < 0  , тогда как оно должно быть положительным .

Answer 2

Для того, щоб числа 3х - 1, x + 5 і x + 17 були послідовними членами геометричної прогресії, необхідно, щоб кожне наступне число було добутком попереднього числа на однаковий ратіо (знаменник прогресії). Тобто:

(3x - 1) * r = (x + 5) (x + 5) * r = (x + 17)

Давайте вирішимо цю систему рівнянь. Спочатку розв'яжемо перше рівняння для r:

3x - 1 = (x + 5) / r

Тепер розв'яжемо друге рівняння для r:

x + 5 = (x + 17) / r

Тепер ми можемо об'єднати обидва вирази, так як обидва дорівнюють r:

3x - 1 = (x + 17) / r

Тепер ми можемо вирішити це рівняння відносно r:

r = (x + 17) / (3x - 1)

Тепер, щоб числа були послідовними членами геометричної прогресії, значення r повинно бути однаковим для обох пар чисел. Тобто:

(x + 5) / (3x - 1) = (x + 17) / (3x - 1)

Тепер можемо розв'язати це рівняння:

(x + 5) = (x + 17)

Віднімаємо x з обох боків:

5 = 17

Отже, дана система рівнянь не має розв'язку. Це означає, що не існує такого значення x, при якому числа 3x - 1, x + 5 і x + 17 будуть послідовними членами геометричної прогресії.