Question

Дана функция y = 2х³-3х² Найдите: a) производную функции; b) критические точки функции; c) промежутки возрастания и убывания функции​

Answer 1

Ответ:

a) y' = 6x² - 6x;

b) х = 0 и х = 1 - критические точки;

c) Функция возрастает на промежутках х ∈ (-∞; 0] и на х ∈ [1; +∞), а на х ∈ [0; 1] функция убывает.

Объяснение:

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹

Производная от разности равна разности производных.

a) Найдем производную функции:

y' = (2х³ - 3х²)' = 2 · 3x³⁻¹ - 3 · 2x²⁻¹ = 6x² - 6x

b) Найдем критические точки:

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

Прировняем полученную производную к нулю:

6x² - 6x = 0

6х(x - 1) = 0

х(x - 1) = 0

х = 0

х - 1 = 0

х = 1

х = 0 и х = 1 - критические точки.

c) Найдем промежутки возрастания и убывания функции​:

Если у' > 0, то функция возрастает на данном промежутке, y' < 0 - функция убывает на данном промежутке.

Рассмотрим неравенство:

6x² - 6x  > 0

6х(x - 1) > 0

х(x - 1) > 0

Решим методом интервалов. Найдем нули функции:

х = 0 и x = 1

Отметим полученные точки на координатной прямой (см. вложение) и выясним знак производной на каждом из полученных промежутков.

при х ∈ (-∞; 0) ⇒ х(x - 1) > 0

при х ∈ (0; 1) ⇒ х(x - 1) < 0

при х ∈ (1; +∞) ⇒ х(x - 1) > 0

Поскольку функция непрерывна во всех критических точках, то они также входят в промежутки монотонности.

Функция возрастает на промежутках х ∈ (-∞; 0] и на х ∈ [1; +∞), а на х ∈ [0; 1] функция убывает.

Answer 2

Давайте начнем с поиска производной функции y = 2x³ - 3x².

a) Производная функции: Чтобы найти производную функции y = 2x³ - 3x², возьмем производные каждого члена по отдельности. Используя степенное правило и правило константы для производных, получим:

y' = d/dx (2x³) - d/dx (3x²)

y' = 6x² - 6x

b) Теперь найдем критические точки функции. Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этой функции:

6x² - 6x = 0

Давайте решим это уравнение:

6x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

x₁ = 0 x₂ = 1

Теперь у нас есть две критические точки: x₁ = 0 и x₂ = 1.

c) Теперь определим промежутки возрастания и убывания функции, используя производную. Для этого мы можем построить таблицу знаков производной в интервалах между критическими точками и за пределами них:

Подытожим:

• В интервале (-∞, 0) производная положительна (6x² - 6x > 0), следовательно, функция возрастает на этом интервале.
• В интервале (0, 1) производная отрицательна (6x² - 6x < 0), следовательно, функция убывает на этом интервале.
• В интервале (1, +∞) производная снова положительна (6x² - 6x > 0), следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, функция y = 2x³ - 3x² возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), и убывает на интервале (0, 1).