Question

Далеко значении X числа х-2 ,x+3, 2x+5 будуть послідовними членами геометрической прогресії

Answer 1

Объяснение:

$x-2,\ x+3,\ 2x+6.\\q=\frac{b_2}{b_1} =\frac{b_3}{b_2} \\\frac{x+3}{x-2}=\frac{2x+6}{x+3} \\(x+3)^2=(x-2)(2x+6)\\x^2+6x+9=2x^2+2x-12\\x^2-4x-21=0\\D=100\ \ \ \ \ \sqrt{D}=10\\ x_1=-3\notin\ \ \ \ x_2=7\in.$

Ответ: x=7.

Answer 2

Щоб числа $x - 2$, $x + 3$ і $2x + 5$ були послідовними членами геометричної прогресії, вони повинні задовольняти основному визначенню геометричної прогресії:

$a_2 = a_1 \cdot r$ $a_3 = a_2 \cdot r$

де $a_1$, $a_2$, $a_3$ - це члени прогресії, а $r$ - її знаменник.

В даному випадку $a_1 = x - 2$, $a_2 = x + 3$ і $a_3 = 2x + 5$. Підставимо ці значення в рівняння геометричної прогресії:

$x + 3 = (x - 2) \cdot r$ $2x + 5 = (x + 3) \cdot r$

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь. Спростимо перше рівняння:

$x + 3 = xr - 2r$

Тепер розв'яжемо друге рівняння:

$2x + 5 = xr + 3r$

Тепер ми маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими ($x$ і $r$). Можна використовувати різні методи для її розв'язання, наприклад, метод підстановки або метод визначників. Розв'яжемо її методом підстановки:

З першого рівняння виразимо $r$:

$r = \frac{x + 3}{x - 2}$

Тепер підставимо це значення $r$ в друге рівняння:

$2x + 5 = x\left(\frac{x + 3}{x - 2}\right) + 3\left(\frac{x + 3}{x - 2}\right)$

Знайдемо спільний знаменник:

$2x + 5 = \frac{x(x + 3)}{x - 2} + \frac{3(x + 3)}{x - 2}$

Зробимо спільний знаменник:

$2x + 5 = \frac{x(x + 3) + 3(x + 3)}{x - 2}$

Розкриємо дужки:

$2x + 5 = \frac{x^2 + 3x + 3x + 9}{x - 2}$

Знайдемо загальний знаменник:

$2x + 5 = \frac{x^2 + 6x + 9}{x - 2}$

Тепер ми можемо помножити обидва боки на $x - 2$, щоб позбутися дробу:

$(2x + 5)(x - 2) = x^2 + 6x + 9$

Розкриємо дужки:

$2x^2 + x - 10 = x^2 + 6x + 9$

Помінимо всі члени на одному боці рівності:

$2x^2 + x - 10 - x^2 - 6x - 9 = 0$

Спростимо:

$x^2 - 5x - 19 = 0$

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою квадратного дискримінанта або інших методів. Якщо розв'язати це рівняння, ви отримаєте значення $x$, яке задовольняє умовам геометричної прогресії.