Question

3. 3. Решите систему неравенств: х? +7х+6>0, 2x-6≤0​

Answer 1

Решение.

$\left\{\begin{array}{l}\bf x^2+7x+6 > 0\\\bf 2x-6\leq 0\end{array}\right$

Корнями уравнения  $\bf x^2+7x+6=0$  будут  $\bf x_1=-6\ ,\ x_2=-1$  (теорема Виета) . Поэтому  $\bf x^2+7x+6=(x+6)(x+1)$  и  неравенство

$\bf (x+6)(x+1) > 0$   имеет решение   $\boldsymbol{\bf x\in (-\infty ;-6\, )\cup (-1\ ;+\infty )}$  .

$\left\{\begin{array}{l}\bf (x+6)(x+1) > 0\\\bf 2x\leq 6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\bf x\in (-\infty ;-6\, )\cup (-1\ ;+\infty )}\\\bf x\leq 3\end{array}\right\ \ \Rightarrow \\\\\\\boldsymbol{\bf x\in (-\infty ;-6\, )\cup (-1\ ;\ 3\ ]}$

Answer 2

Для решения этой системы неравенств, давайте начнем с каждого неравенства по отдельности.

1. Неравенство 1: x^2 + 7x + 6 > 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства:

x^2 + 7x + 6 = 0

(x + 6)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x = -6 и x = -1.

Теперь определим знак выражения x^2 + 7x + 6 для разных интервалов:

• Если x < -6, то оба множителя (x + 6) и (x + 1) отрицательны, поэтому выражение положительно.
• Если -6 < x < -1, то первый множитель (x + 6) положительный, а второй (x + 1) отрицательный, поэтому выражение отрицательно.
• Если x > -1, то оба множителя положительны, поэтому выражение снова положительно.

Таким образом, решение неравенства x^2 + 7x + 6 > 0: x ∈ (-∞, -6) ∪ (-1, +∞).

2. Неравенство 2: 2x - 6 ≤ 0

Решение этого неравенства довольно простое:

2x - 6 ≤ 0

2x ≤ 6

x ≤ 3

Теперь мы знаем, что x должно быть меньше или равно 3.

Теперь объединим результаты обоих неравенств:

• Для неравенства 1: x ∈ (-∞, -6) ∪ (-1, +∞).
• Для неравенства 2: x ≤ 3.

Чтобы найти пересечение этих двух множеств, возьмем общую часть:

x ∈ (-∞, -6) ∪ (-1, 3]

Итак, решение системы неравенств x^2 + 7x + 6 > 0 и 2x - 6 ≤ 0: x ∈ (-∞, -6) ∪ (-1, 3].