Question

Не розв'язуючи рівняння 3х²-7х-11=0,знайдіть: х1²+х2²

Answer 1

$x_{1} ^{2}+x_{2} ^{2} = x_{1} ^{2} + 2x_{1} x_{2} +x_{2} ^{2} -2x_{1} x_{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} -2x_{1} x_{2}$

Сумма корней есть, это 7/3

Произведение тоже есть, это -11/3

$(\frac{7}{3} )^{2} + 2*\frac{11}{3}$ = $\frac{115}{9}$

Ответ: 115/9

Answer 2

Щоб знайти $x_1^2 + x_2^2$ без розв'язування квадратного рівняння $3x^2 - 7x - 11 = 0$, можна скористатися формулою квадратного рівняння. Якщо $x_1$ і $x_2$ є коренями квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$, то справедлива наступна рівність:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

У вашому випадку, $a = 3$, $b = -7$ і $c = -11$. Користуючись формулою Вієта для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$, ми можемо знайти суму коренів ($x_1 + x_2$) та їх добуток ($x_1x_2$):

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{7}{3}$ $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-11}{3}$

Тепер можна підставити ці значення у формулу для $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{-11}{3}$ $x_1^2 + x_2^2 = \frac{49}{9} + \frac{22}{3}$ $x_1^2 + x_2^2 = \frac{49 + 66}{9}$ $x_1^2 + x_2^2 = \frac{115}{9}$

Отже, $x_1^2 + x_2^2 = \frac{115}{9}$ або приблизно 12.78.